Question

биссекстрисы AD и BE треугольника ABC пересекаются в точке О так, что AE:EC=4:9 , BC: BD = 11:4Найдите отношение AO:OD

Answer 1

Решение указано во вложении

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства биссектрис треугольника.

Свойство 1:

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.

В данной задаче, мы имеем следующие пропорции: AE:EC = 4:9 BC:BD = 11:4

Свойство 2:

Точка пересечения биссектрис треугольника делят их на отрезки, пропорциональные смежным сторонам треугольника.

Используя свойство 2, мы можем заметить, что точка O делит сторону AB на отрезки AO и OB, и точка O делит сторону AC на отрезки AO и OC.

Теперь, чтобы найти отношение AO:OD, нам нужно найти соответствующие длины AO и OD.

Решение:

1. Пусть AE = 4x и EC = 9x. Тогда мы можем найти BC и BD следующим образом: Из пропорции BC:BD = 11:4, мы можем записать: BC = 11y и BD = 4y, где y - некоторая константа.

2. Так как точка O делит сторону AB на отрезки AO и OB, и точка O делит сторону AC на отрезки AO и OC, мы можем записать следующие пропорции: AO:OB = AE:EB = 4x:11y AO:OC = AE:EC = 4x:9x

3. Заметим, что AO является общим отрезком в обоих пропорциях. Поэтому мы можем сравнить отношения OB:OC и AO:OD, чтобы найти отношение AO:OD: OB:OC = AO:OD 11y:9x = 4x:OD

4. Теперь мы можем решить эту пропорцию относительно OD: (11y)(OD) = (9x)(4x) 11yOD = 36x^2

5. Разделим обе стороны на 11y, чтобы найти OD: OD = (36x^2) / (11y)

Теперь мы имеем выражение для OD. Чтобы найти выражение для AO, мы можем использовать свойство 2 и записать: AO = AC - OC

Подставим значения AC = AE + EC и OC = (OD * EC) / (OD + OD), которые мы нашли ранее, в это выражение:

AO = AE + EC - (OD * EC) / (OD + OD)

Подставим значения AE = 4x, EC = 9x и OD = (36x^2) / (11y):

AO = 4x + 9x - ((36x^2) / (11y)) * (9x) / ((36x^2) / (11y) + (36x^2) / (11y))

Упростим это выражение:

AO = 13x - (9x * 9x) / (2x) = 13x - (81x^2) / (2x) = 13x - (81x) / 2

Теперь у нас есть выражение для AO. Мы можем подставить это значение и значение OD в выражение для отношения AO:OD:

(AO) / (OD) = (13x - (81x) / 2) / ((36x^2) / (11y))

Упростим это выражение:

(AO) / (OD) = (13x - (81x) / 2) * ((11y) / (36x^2))

А теперь, у нас есть выражение для отношения AO:OD, которое можно дальше упростить и вычислить.