Question

У тирикутнику ABC бісектриси ВD i AE кутів В і А перетинаються у точці О.Обчисліть довжину сторони АС якщо АВ=4 см, АО:ОЕ=3:2 та АD:DС=6:7.

Answer 1

В третий раз воспользуемся свойством биссектрисы. Теперь относительно биссектрисы AE: AC/AB=CE/EB, тогда: АС=4*(2/(8/3))=24/8=3 см

Answer 2

Для вирішення цієї задачі використаємо теорему Піфагора та співвідношення між довжинами відрізків на бісектрисах трикутників.

Спочатку знайдемо довжини відрізків АО та ОЕ: Відомо, що АО:ОЕ = 3:2, отже можемо припустити, що маємо відрізки АО = 3х та ОЕ = 2х, де х - довжина додаткового множника. За теоремою Піфагора застосованої до прямокутних трикутників АОЕ та АОС отримаємо наступні рівняння:

(3х)² + (2х)² = 4², 9х² + 4х² = 16, 13х² = 16, х² = 16/13.

Тепер знайдемо довжини відрізків Аd та dС: Відомо, що Аd:dС = 6:7, отже можемо припустити, що маємо відрізки Аd = 6у та dС = 7у, де у - довжина додаткового множника. Знову застосуємо теорему Піфагора до прямокутних трикутників АdС та АСО:

(6у)² + (7у)² = АС², 36у² + 49у² = АС².

Замінимо значення АС² виразом, отриманим за допомогою теореми Піфагора в трикутнику АОС:

(36у² + 49у²) = (9х² + 4х²), 85у² = 13х².

Враховуючи, що х² = 16/13, можемо отримати:

85у² = 13 * (16/13), 85у² = 16, у² = 16/85.

Знаючи значення у², можемо знайти значення у:

у = √(16/85), у = 4/√85.

Отже, довжина сторони АС дорівнює:

АС = 2у = 2 * (4/√85),

АС = 8/√85.

Таким чином, довжина сторони АС дорівнює 8/√85 см.