Question

Разложить вектор a{5;1} по векторам b{2;1} и c{-1;1}

Answer 1

$a(5;1) \\ b(2;1)\\ c(-1;1)\\ \\ 2x-y=5\\ x+y=1 \\ \\ x=1-y\\ 2-3y=5\\ y=-1\\ x=2\\ \\ a=2b-c$

Answer 2

Для разложения вектора a по векторам b и c мы можем использовать формулу проекции вектора a на вектор b и проекции вектора a на вектор c.

Для начала, найдем проекцию вектора a на вектор b. Формула проекции вектора a на вектор b выглядит следующим образом:

proj_b(a) = (a * b) / (||b||^2) * b,

где a * b - скалярное произведение векторов a и b, ||b|| - длина вектора b.

Вычислим скалярное произведение векторов a и b:

a * b = 5 * 2 + 1 * 1 = 10 + 1 = 11.

Теперь найдем длину вектора b:

||b|| = √(2^2 + 1^2) = √(4 + 1) = √5.

Теперь можем вычислить проекцию вектора a на вектор b:

proj_b(a) = (11) / (5) * (2; 1) = (22/5; 11/5).

Аналогично, найдем проекцию вектора a на вектор c. Формула проекции вектора a на вектор c выглядит следующим образом:

proj_c(a) = (a * c) / (||c||^2) * c.

Вычислим скалярное произведение векторов a и c:

a * c = 5 * (-1) + 1 * 1 = -5 + 1 = -4.

Теперь найдем длину вектора c:

||c|| = √((-1)^2 + 1^2) = √(1 + 1) = √2.

Теперь можем вычислить проекцию вектора a на вектор c:

proj_c(a) = (-4) / (2) * (-1; 1) = (2; -2).

Таким образом, вектор a может быть разложен по векторам b и c следующим образом:

a = proj_b(a) + proj_c(a) = (22/5; 11/5) + (2; -2).

Answer 3

Для того, чтобы разложить вектор a по векторам b и c, необходимо найти такие коэффициенты x и y, что a = xb + yc. Это можно сделать, решив систему линейных уравнений, составленную из координат векторов:

5 = 2x - y 1 = x + y

Решая эту систему методом сложения, получаем:

6 = 3x x = 2

Подставляя x в одно из уравнений, находим y:

1 = 2 + y y = -1

Таким образом, коэффициенты x и y равны 2 и -1 соответственно. Значит, разложение вектора a по векторам b и c имеет вид:

a = 2b - c

Это ответ на ваш вопрос. Если вы хотите узнать больше о разложении векторов по базису, вы можете посмотреть следующие источники:

- [Разложение вектора по векторам](https://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/basis_expansion/) - [Онлайн калькулятор. Разложение вектора по базису](https://ru.onlinemschool.com/math/assistance/vector/basis_expansion/) - [Пример задачи на разложение вектора по векторам](https://uchi.ru/otvety/questions/razlozhit-vektor-s-45-po-vektoram-a-54-i-b-1-1) - [Координаты вектора в базисе](https://math.semestr.ru/matrix/basis.php)