Question

В плоскости М описана окружность, длина которой равна с. Из центра О окружности восстановлен к плоскости перпендикуляр ОА=h. Найти угол между этим перпендикуляром и прямой, соединяющей его конец А с произвольной точкой N окружности

Answer 1

Решение в скане..........

Answer 2

Предположим, что \(\angle AON\) - искомый угол. Также, пусть \(ON = r\) - радиус окружности \(M\), а \(OM = R\) - радиус описанной окружности.

Треугольник \(OAN\) - прямоугольный, так как он образуется радиусом и касательной к окружности в точке \(N\). Из условия задачи мы знаем, что \(OA = h\), а также \(ON = r\) и \(AN = R\).

Применяя теорему Пифагора к треугольнику \(OAN\), получаем: \[OA^2 = ON^2 + AN^2\] \[h^2 = r^2 + R^2\]

Теперь рассмотрим треугольник \(OAN\) и воспользуемся тригонометрической функцией синуса: \[\sin(\angle AON) = \frac{ON}{OA}\] \[\sin(\angle AON) = \frac{r}{h}\]

Таким образом, у нас есть два уравнения: \[h^2 = r^2 + R^2\] \[\sin(\angle AON) = \frac{r}{h}\]

Из первого уравнения можно выразить \(r^2\) и подставить во второе: \[\sin(\angle AON) = \frac{\sqrt{h^2 - R^2}}{h}\]

Теперь, чтобы найти угол \(\angle AON\), возьмем арксинус от обеих сторон уравнения: \[\angle AON = \arcsin\left(\frac{\sqrt{h^2 - R^2}}{h}\right)\]

Это и есть ответ на ваш вопрос. Угол между перпендикуляром и прямой, соединяющей конец \(A\) с произвольной точкой \(N\) на окружности \(M\), равен \(\arcsin\left(\frac{\sqrt{h^2 - R^2}}{h}\right)\).