Question

Основания трапеции относятся как 1:5. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?

Answer 1

Обозначим: а-малое основание трапеции; в-большие основание трапеции; с-перпендикуляр из точки пересечения диагоналей к малому основанию; н- перпендикуляр из (·)пересечения диагоналей к большему основанию; л-линия, параллельная основаниям, проведенная через (·)пересечения диагоналей. Пусть S₁ - площадь меньшей части трапеции, а S₂ -большей! По условию     а:в=1:5, т.е.     в=5а
S₁ = (а+л)·с/2;    S₂ = (в+л)·н/2 = (5а+л)·н/2
Из свойств трапеции: 1) л=2ав/(а+в)=2·а·5а/(а+5а)=10а²/6а=5а/3;
2)с:н=а:в, т.е н=5с
Тогда: S₁ =(а+5а/3)·с/2=(3а+5а)·с/6=8а·с/6=4а·с/3;
 S₂=(5а + 5а/3)·5с/2= (15а+5а)·5с/6=20а·5с/6= 50а·с/3;
S₁:S₂ =( 4а·с/3):(50а·с/3) = 4:50 = 2:25 
Ответ: Соотношение площадей  2:25

Answer 2

Пусть основания трапеции равны a и 5a, где a - некоторая длина.

Так как прямая, проведенная через точку пересечения диагоналей, параллельна основаниям, то она делит трапецию на две трапеции. Пусть площадь первой трапеции равна S1, а площадь второй трапеции равна S2.

Так как высота трапеции равна высоте обеих ее частей, то высота первой трапеции равна высоте второй трапеции.

Также из подобия трапеций следует, что отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату отношения их соответствующих сторон.

Поскольку прямая, проведенная через точку пересечения диагоналей, параллельна основаниям, то она делит основания в одном и том же отношении 1:5. Значит, соответствующие стороны трапеции (основания) также имеют отношение 1:5.

Следовательно, отношение площадей S1 и S2 равно квадрату отношения 1:5, то есть (1/5)^2 = 1/25.

Таким образом, прямая, проведенная через точку пересечения диагоналей и параллель