Question

В окружность вписан квадрат со стороной 9 корней из 2.найти сторону правильного треугольника , описанного около этой окружности

Answer 1

Найдем диагональ квадрата. Диагональ квадрата = а*sqrt2 (sqrt-корень) диагональ=9sqrt2*sqrt2=9, значит радиус окружности 1/2 диагонали=4.5. Радиус вписанной в треугольник окружности =S/p, p-полупериметр, S-плошадь. S правильного треугольника =(a^2*sqrt3)/4,  полупериметр правильного треугольника= 3а/2. r=(2a^2*sqrt3)/(4*3a)=(2a^2*sqrt3)/(12a)=(a*sqrt3)/6.  
6r=a*sqrt3, a=6r/sqrt3, a=(6*4.5)/sqrt3=27/sqrt3=9sqrt3

Answer 2

Давайте обозначим данную конструкцию:

Пусть \( ABCD \) - это квадрат, вписанный в окружность, а \( O \) - центр этой окружности. Также, \( E, F, G \) и \( H \) - середины сторон квадрата.

Так как квадрат вписан в окружность, диагонали квадрата проходят через центр окружности \( O \). Таким образом, диагонали \( AC \) и \( BD \) проходят через \( O \).

Теперь рассмотрим правильный треугольник, описанный вокруг этой окружности. Пусть \( I \) - центр окружности, а \( A, B \) и \( C \) - вершины треугольника.

Так как \( I \) - центр вписанной окружности, отрезки \( IA, IB \) и \( IC \) - это радиусы этой окружности.

Теперь давайте рассмотрим прямоугольный треугольник \( AIO \). Он прямоугольный, потому что \( IO \) - радиус окружности, проведенный к точке касания с квадратом, является перпендикуляром к стороне квадрата \( AC \) (так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания).

Согласно теореме Пифагора:

\[ AO^2 = AI^2 + IO^2 \]

Известно, что сторона квадрата \( AC \) равна \( 9 \sqrt{2} \). Таким образом, \( AC = 9 \sqrt{2} \).

Теперь нужно найти \( IO \), радиус окружности. Он равен половине диагонали квадрата, поскольку \( O \) - центр окружности.

\[ IO = \frac{AC}{2} = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \]

Теперь можем подставить значения в теорему Пифагора:

\[ AO^2 = AI^2 + IO^2 \]

\[ AO^2 = R^2 \] (где \( R \) - радиус описанной окружности)

\[ R^2 = AI^2 + \left(\frac{9 \sqrt{2}}{2}\right)^2 \]

Теперь, \( AI \) - это высота равностороннего треугольника \( AIO \). Так как треугольник равносторонний, \( AI \) - медиана, а также биссектриса, и она делит угол \( A \) пополам. Таким образом, мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями в равностороннем треугольнике.

\[ AI = \frac{AO}{\sqrt{3}} \]

\[ R^2 = \left(\frac{AO}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{9 \sqrt{2}}{2}\right)^2 \]

Теперь подставим значение \( AO \) (радиус описанной окружности):

\[ R^2 = \left(\frac{AO}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{9 \sqrt{2}}{2}\right)^2 \]

\[ R^2 = \left(\frac{9}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{9 \sqrt{2}}{2}\right)^2 \]

\[ R^2 = 27 + \frac{81}{2} \]

\[ R^2 = \frac{135}{2} \]

Теперь найдем \( R \):

\[ R = \sqrt{\frac{135}{2}} = \frac{3 \sqrt{30}}{2} \]

Таким образом, сторона правильного треугольника, описанного вокруг этой окружности, равна \( R \):

\[ \text{Сторона треугольника} = \frac{3 \sqrt{30}}{2} \]