Question

В параллелограмме АВСD AB = 8 cм, ВС = 12 см. Точки К и Е лежат соответственно на сторонах ВС и СD так, что СК = 3 см, СЕ = 2 см. Отрезок КЕ пересекает диагональ АС в точке Р. Найдите отношение АР к РС.

Answer 1

Проведём ещё один перпендикуляр BСD и рассмотрим треугольники BCD и KCE они подобны угол С у этих двух треугольников общий,тогда ВСD подобен КСЕ (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Т.к треугольники подобны мы можем найти их отношение ВС:КС=12:3 сокращаем и получается 4:1, теперь найдём отношение DС и ЕС=8:2 сокращаем и получиться 4:1 от сюда следует ОС:РС=4:1 , то есть треугольник ВСD подобен КСЕ как 4:1,точка О это середина двух перпендикуляров АО=ОС=4 от сюда следует АС=4+4=8 от сюда следует АР=АС-РС=8-1=7.
Ответ:АР относиться к РС как 7:1.)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма и теоремой Талеса.

Известно, что в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Таким образом, \(AB = CD\) и \(AD = BC\).

Также, у нас есть отрезок \(CK = 3\) см и \(CE = 2\) см.

Теперь рассмотрим треугольник \(CKE\). По теореме Талеса, если провести прямую, соединяющую середины двух сторон треугольника, то эта прямая будет параллельна третьей стороне и ей будет равна половина третьей стороны.

Обозначим середину стороны \(CE\) как \(M\), а середину стороны \(CK\) как \(N\). Тогда, по теореме Талеса:

\[ \frac{ME}{MK} = \frac{NE}{NK} = \frac{CE}{CK} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{ME}{\frac{CK}{2}} = \frac{NE}{\frac{CE}{2}} \]

\[ \frac{ME}{3/2} = \frac{NE}{1} \]

Отсюда получаем, что \(ME = \frac{3}{2}\) см и \(NE = 1\) см.

Теперь рассмотрим треугольник \(ACD\). Поскольку \(M\) - середина \(CE\), то \(AM = MC\), и аналогично, \(N\) - середина \(CK\), то \(AN = NK\).

Теперь можем выразить \(AR\) через \(AM\) и \(AP\) (где \(P\) - точка пересечения \(KE\) и \(AC\)):

\[ AR = AM + MP \]

Также можем выразить \(CP\) через \(CN\) и \(NE\):

\[ CP = CN + NP \]

Так как \(AM = MC\), то \(MP = PC\), и теперь мы можем записать:

\[ AR = AM + MP = AM + PC \]

Также, у нас есть равенство \(AN = NK\) и \(CN + NP = CE\), отсюда следует, что \(CN = NE\).

Теперь можем записать:

\[ CP = CN + NP = NE + NP \]

Таким образом, \(AR = AM + PC = AM + NE + NP\).

Теперь рассмотрим треугольник \(AKE\). В этом треугольнике \(AM\) - медиана, проведенная к стороне \(KE\). По свойству медианы, она делит сторону \(KE\) пополам.

Таким образом, \(AM = \frac{1}{2} KE\), и мы можем записать:

\[ AR = AM + NE + NP = \frac{1}{2} KE + NE + NP \]

Теперь у нас есть информация о сторонах треугольника \(AKE\), и мы можем использовать теорему Пифагора, так как угол \(A\) прямой в параллелограмме:

\[ AE^2 = AK^2 + KE^2 \]

Подставим известные значения:

\[ (2 + 3)^2 = AK^2 + (2 \cdot \frac{1}{2} KE + NE + NP)^2 \]

\[ 25 = AK^2 + (KE + NE + NP)^2 \]

Теперь у нас есть уравнение относительно \(AK\). Решив его, мы найдем значение \(AK\).

\[ 25 = AK^2 + (KE + 3)^2 \]

\[ AK^2 = 25 - (KE + 3)^2 \]

Теперь вспомним, что \(AR = \frac{1}{2} KE + NE + NP\). Подставим найденные значения:

\[ AR = \frac{1}{2} KE + NE + NP = \frac{1}{2} KE + 1 + NP \]

Теперь можем выразить \(AR\) через \(AK\):

\[ AR = \frac{1}{2} KE + 1 + NP = \frac{1}{2} \sqrt{25 - (KE + 3)^2} + 1 + NP \]

Теперь рассмотрим треугольник \(ARP\). Мы ищем отношение \(AR\) к \(RP\). Так как \(AR = \frac{1}{2} KE + 1 + NP\) и \(RP = PC\), то:

\[ \frac{AR}{RP} = \frac{\frac{1}{2} KE + 1 + NP}{NE + NP} \]

Теперь подставим известные значения:

\[ \frac{AR}{RP} = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{25 - (KE + 3)^2} + 1 + NP}{1 + NP} \]

Теперь мы можем упростить это выражение. Подставим \(KE = 2\) и \(NE = 1\):

\[ \frac{AR}{RP} = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{25 - (2 + 3)^2} + 1 + 1}{1 + 1} \]

\[ \frac{AR}{RP} = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{25 - 25} + 1 + 1}{2} \]

\[ \frac{AR}{RP} = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{0} + 1 + 1}{2} \]

\[ \frac{AR}{RP} = \frac{1 + 1}{2} \]

\[ \frac{AR}{RP} = \frac{2}{2} \]

\[ \frac{AR}{RP} = 1 \]

Таким образом, отношение \(AR\) к \(RP\) равно \(1\).