Question

Один из углов прямоугольной трапеции равен 120 градусам, большая боковая сторона равна 20 см, а средняя линяя равна 7 см. Найти основания трапеции

Answer 1

Большее основание - 20/2*cos60+7=10*1/2+7=12 cm;
меньшее основание - (а+12)/2=7, а+12=14, а=2 см.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами прямоугольных трапеций.

Поскольку один из углов трапеции равен 120 градусам, это означает, что противоположные углы (углы, не примыкающие к данному) также равны. Таким образом, другой угол трапеции также равен 120 градусам.

Далее, у нас есть большая боковая сторона, которая равна 20 см, и средняя линия, которая равна 7 см. Средняя линия прямоугольной трапеции делит ее на два прямоугольных треугольника. Мы можем использовать тригонометрические отношения для нахождения длины других сторон этих треугольников.

Рассмотрим один из таких треугольников. Пусть \(a\) - это половина длины основания трапеции (длина половины основания средней линии), \(b\) - это половина разности длин оснований трапеции, \(c\) - это половина высоты трапеции.

Тогда для этого треугольника теорема косинусов выражается следующим образом:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^\circ)\]

С учетом того, что \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\), у нас есть:

\[c^2 = a^2 + b^2 + ab\]

Мы знаем, что \(a = \frac{7}{2}\) (половина средней линии) и \(b = \frac{1}{2}\) разность длин оснований (половина разности длин большей и меньшей сторон). Подставим эти значения:

\[c^2 = \left(\frac{7}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2}\]

\[c^2 = \frac{49}{4} + \frac{1}{4} + \frac{7}{4}\]

\[c^2 = \frac{57}{4}\]

\[c = \sqrt{\frac{57}{4}} = \frac{\sqrt{57}}{2}\]

Теперь, зная половину высоты трапеции, мы можем найти ее полную высоту. Поскольку у нас есть два прямоугольных треугольника с одинаковой высотой, полная высота будет равна удвоенной высоте одного из треугольников:

\[h = 2c = \sqrt{57}\]

Теперь мы можем использовать найденную высоту для нахождения длин оснований трапеции. Поскольку одно из оснований равно большей боковой стороне (20 см), а другое основание - разность между большей и меньшей сторонами (основание средней линии), мы можем записать:

\[a = \frac{1}{2} \cdot (20 + 7) = \frac{27}{2}\]

\[b = \frac{1}{2} \cdot (20 - 7) = \frac{13}{2}\]

Таким образом, основания трапеции равны \(a = \frac{27}{2}\) и \(b = \frac{13}{2}\).