Question

Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120 градусов и удалена от оси на расстояние, равное 9.Диагональ получившегося сечения равна 12.Найдите объёл цилиндра

Answer 1

обозначим сечение АВСД, О-центр основания. V=пR^2h, проведём перпендикуляр ОК к прямой АД.-это и есть расстояние от оси до сечения. треугольник АОД равнобедренный, значит ОК является медианой и биссектрисой, поэтому АК=КД, угол АОК=углуДОК=60 градусов. В прямоугольном треугольнике АОК угол КАО=30 градусов, поэтому ОК=1/2АО, АО=R=2*ОК=2*9=18, АК=АО*sin60=18*корень из3/2=9корень из3, АД=2*9корень из 3=18корень из 3. Осталось найти высоту цилиндра. Сечение - прямоугольник,  у которого известны диагональ и сторона. Вторую сторону можно рассчитать по т. Пифагора. это и будет высота и подставишь всё в формулу объёма.

Answer 2

Для начала разберём, что представляет собой ситуация. Есть цилиндр, и плоскость параллельная его оси, которая отсекает от окружности основания дугу в 120 градусов и находится на расстоянии 9 единиц от оси цилиндра. Диагональ этого сечения (то есть расстояние между точками на краях отсечённой дуги) равна 12 единицам.

Для решения задачи, воспользуемся геометрическими свойствами цилиндра. Для начала, нам нужно найти радиус основания цилиндра.

Известно, что дуга отсекается под углом 120 градусов, что составляет треть полной окружности (360 градусов). Таким образом, отношение длины дуги, отсеченной плоскостью, к полной окружности будет равно 120/360 = 1/3.

Длина дуги окружности с радиусом \( r \) и полным углом \( 2\pi \) радиан составляет \( 2\pi r \). Поэтому длина отсеченной дуги равна \( \frac{1}{3} \) от этой длины, то есть \( \frac{1}{3} \times 2\pi r \).

Так как эта длина равна 12 единицам, мы можем записать уравнение:

\[ \frac{1}{3} \times 2\pi r = 12 \] \[ 2\pi r = 36 \] \[ r = \frac{36}{2\pi} \] \[ r = 18/\pi \]

Теперь у нас есть радиус цилиндра. Чтобы найти объем цилиндра, используем формулу для объема цилиндра: \( V = \pi r^2 h \), где \( h \) - высота цилиндра.

Так как плоскость параллельна оси цилиндра и находится на расстоянии 9 от нее, то это расстояние 9 и будет высотой цилиндра.

Подставляем найденное значение радиуса и высоты в формулу для объема:

\[ V = \pi \times \left(\frac{18}{\pi}\right)^2 \times 9 \] \[ V = \pi \times \frac{324}{\pi^2} \times 9 \] \[ V = 324 \times \frac{9}{\pi} \] \[ V = 324 \times \frac{9}{\pi} \approx 291.6 \, \text{единиц}^3 \]

Таким образом, объем цилиндра составляет примерно 291.6 кубических единиц.