Question

Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а, диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45°. Найти угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани

Answer 1

Диагональ призмы равна корню из сумы квадратов её измерений.
Д² = а²+а²+Н².
По заданию диагональ основания равна высоте призмы (угол 45°)
Тогда Н² = а² + а².
 Тогда Д² =4а²    Д = 2а.
Треугольник, составленный диагональю призмы, диагональю боковой грани и верхним ребром, имеет соответственно длины сторон:
2а, а√2 и а.
Такие параметры треугольника соответствуют прямоугольному треугольнику с искомым углом 30 градусов.

Answer 2

Пусть ABCD - основание призмы, где AB = BC = CD = DA = a. Пусть E - точка пересечения диагонали AC и плоскости боковой грани. Так как ABCD - правильная четырехугольная призма, то у нее все стороны равны, а значит, углы при основании равны 90°.

Так как диагональ AC образует с плоскостью основания угол 45°, то угол BAC = 45°.

Также, так как ABCD - правильная четырехугольная призма, то угол ABC = 90°.

Итак, у нас есть треугольник ABC, в котором угол BAC = 45° и угол ABC = 90°.

Найдем угол между диагональю AC и плоскостью боковой грани. Для этого найдем угол между диагональю AC и стороной AB.

В треугольнике ABC применим теорему косинусов: cos(ACB) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)

Так как угол ABC = 90°, то AB^2 + AC^2 = BC^2

Подставим это в формулу: cos(ACB) = (BC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC) = 0 / (2 * AB * AC) = 0

Таким образом, cos(ACB) = 0, что означает, что угол ACB = 90°.

Итак, угол между диагональю AC и плоскостью боковой грани равен 90°.