Question

Боковая сторона трапеции равна десяти корням из двух см, она образует с большим основанием угол в 45 градусов. Основания равны 24см, 40см. Вычислите площадь трапеции.

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для площади трапеции:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}, \]

где \( a \) и \( b \) - длины оснований трапеции, \( h \) - высота трапеции.

Мы знаем, что боковая сторона трапеции равна десяти корням из двух см, и она образует угол в 45 градусов с большим основанием.

Так как угол между боковой стороной и большим основанием равен 45 градусам, мы можем разбить трапецию на два прямоугольных треугольника и один квадрат. Боковая сторона будет служить гипотенузой этих треугольников.

Пусть \( h \) - высота трапеции, тогда длина меньшего основания равна \( h \), а длина боковой стороны равна \( 10\sqrt{2} \) см.

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника и один квадрат:

1. Прямоугольный треугольник с катетами \( h \) и \( \frac{b-a}{2} \). 2. Прямоугольный треугольник с катетами \( h \) и \( \frac{b+a}{2} \). 3. Квадрат со стороной \( h \).

Мы можем записать уравнения для площадей этих фигур:

1. Площадь первого треугольника: \( \frac{1}{2} \cdot h \cdot \frac{b-a}{2} \). 2. Площадь второго треугольника: \( \frac{1}{2} \cdot h \cdot \frac{b+a}{2} \). 3. Площадь квадрата: \( h^2 \).

Теперь сложим эти площади и приравняем результат к площади трапеции:

\[ \frac{1}{2} \cdot h \cdot \frac{b-a}{2} + \frac{1}{2} \cdot h \cdot \frac{b+a}{2} + h^2 = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \].

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ \frac{1}{4}(b - a + b + a)h + h^2 = \frac{1}{2}(a + b)h \].

Упростим дальше:

\[ \frac{1}{2}(b + h)h = \frac{1}{2}(a + b)h \].

Сократим на \( \frac{1}{2} \):

\[ (b + h)h = (a + b)h \].

Теперь у нас есть:

\[ b^2 + bh = ah + bh \].

Выразим \( h \):

\[ b^2 = ah \].

Теперь подставим значения \( a \) и \( b \) (длины оснований трапеции):

\[ b^2 = 24 \cdot 10\sqrt{2} \].

Теперь можно найти значение \( h \):

\[ h = \frac{b^2}{24 \cdot 10\sqrt{2}} \].

После этого мы можем использовать найденное значение \( h \) в формуле для площади трапеции:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \].

Подставим значения и вычислим площадь трапеции.