Question

Биссектрисы углов C и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке L , лежащей на стороне AB. Докажите, что L — середина AB.

Answer 1

Смотри решение в файле

Answer 2

1) <ALD=<LDC (как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей KD), но <LDC=<LDA (т. к. DL - биссектриса угла D), поэтому ALD - равнобедренный треугольник, т. е. AL=AD.
2) Аналогично, <BLC=<LCD (как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей LC) но <LCD=<BCL (т. к. LC - биссектриса угла C), поэтому LBC равнобедренный треугольник, т. е. BL=BC.
3) Т. к. ABCD - параллелограмм, то BC=AD. Т. к. BC=BL, AD=AL => BL=AL.
Ч. т. д.

Answer 3

Для того, чтобы доказать, что L — середина AB, нужно показать, что AL = BL. Для этого можно воспользоваться свойствами биссектрис и параллелограмма. Рассмотрим следующее решение:

1. Проведем диагональ AC. Тогда ∠ACL = ∠ACD, так как CL - биссектриса угла C. 2. Проведем диагональ BD. Тогда ∠BLD = ∠BAD, так как DL - биссектриса угла D. 3. Заметим, что ∠ACD = ∠BAD, так как они противолежащие при вершинах в параллелограмме ABCD. 4. Из пунктов 1, 2 и 3 следует, что ∠ACL = ∠BLD. Тогда треугольники ACL и BLD подобны по углу и двум сторонам, образующим этот угол (по свойству параллелограмма, AC = BD и CL = DL). 5. Из подобия треугольников ACL и BLD следует, что AL = BL. Значит, L — середина AB.

Доказательство завершено.