Question

Помогите пожалуйста!1) Диагонали трапеции BCDE пересекаются в точке О. Найдите основание BC, если DE=12, DO=9, BO=3.2) В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы углов B и C, которые пересекаются в точке P на стороне AD. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AB=10.3) Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ равна 65 под корнем, а высота равна 4.

Answer 1

1. ВС - малое основание. Тр-ки ВОС и DOE подобны, ВС/ВО = DE/DO; ВС = 12*3/9 = 4

2. ВР - биссектриса, угол АВР = угол СВР, но угол СВР = угол ВРА => тр-к АВР равнобедренный, АВ = ВР = 10; аналогично DP = CD = 10; AD = 20;

периметр (10 + 20)*2 = 60; (интересно в этой простенькой задачке то, что сторону вычислить можно, а углы - нет: подходит любой параллелограмм, у которого одна сторона в 2 раза больше другой).

3. Пусть равнобедренная трапеция АВСЕ, АЕ II ВС; ВН - высота,

ВЕ = √65; BH = 4; HE = √(65 - 16) = √49 = 7; 

При этом ЕА = (АЕ - ВС)/2; поэтому НЕ = АЕ - (АЕ -ВС)/2 = (АЕ + ВС)/2;

S = BH*(АЕ + ВС)/2 = 4*7 = 28;

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый вопрос по очереди.

1) Диагонали трапеции BCDE: Пусть \( BC \) - основание трапеции, \( DE \) - верхнее основание, \( BO = 3 \), \( DO = 9 \). Также, пусть точка пересечения диагоналей обозначена \( O \).

Так как диагонали трапеции пересекаются в точке \( O \), то можно использовать подобие треугольников \( BOD \) и \( COD \). По правилу подобия диагоналей треугольников:

\[ \frac{BO}{DO} = \frac{BC}{CE} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{3}{9} = \frac{BC}{CE} \]

Упростим:

\[ \frac{1}{3} = \frac{BC}{CE} \]

Также, из условия \( DE = 12 \), следует, что \( CE = DE - CD = 12 - BC \).

Теперь подставим это обратно в уравнение:

\[ \frac{1}{3} = \frac{BC}{12 - BC} \]

Умножим обе стороны на \( 12 - BC \):

\[ 12 - BC = 3BC \]

Перенесем все на одну сторону:

\[ 4BC = 12 \]

Решим для \( BC \):

\[ BC = \frac{12}{4} = 3 \]

Таким образом, основание \( BC \) трапеции равно \( 3 \).

2) Периметр параллелограмма ABCD: Поскольку в параллелограмме биссектрисы углов \( B \) и \( C \) пересекаются на стороне \( AD \) в точке \( P \), то мы можем использовать свойство параллелограмма, что противоположные стороны равны.

Таким образом, \( AD = BC = 3 \), и периметр параллелограмма равен:

\[ P = 2(AB + BC) = 2(10 + 3) = 2 \times 13 = 26 \]

Так что периметр параллелограмма ABCD равен \( 26 \).

3) Площадь равнобедренной трапеции: Пусть \( a \) и \( b \) - основания равнобедренной трапеции, \( h \) - высота, \( d \) - диагональ.

Известно, что диагональ \( d \) делит трапецию на два прямоугольных треугольника, основания которых равны основаниям трапеции.

Таким образом, \( a = b \) (так как трапеция равнобедренная), и у нас есть два прямоугольных треугольника с катетами \( a/2 \), \( h \) и \( d \).

Мы можем использовать теорему Пифагора для каждого треугольника:

\[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = d^2 \]

Учитывая, что \( a = b \), это уравнение можно записать как:

\[ \frac{b^2}{4} + h^2 = d^2 \]

Также, известно, что \( h = 4 \), а \( d = \sqrt{65} \).

Подставим значения и решим уравнение:

\[ \frac{b^2}{4} + 4^2 = (\sqrt{65})^2 \]

Упростим:

\[ \frac{b^2}{4} + 16 = 65 \]

\[ \frac{b^2}{4} = 49 \]

Умножим обе стороны на 4:

\[ b^2 = 196 \]

\[ b = 14 \]

Таким образом, одно из оснований трапеции равно 14, а её площадь можно найти по формуле:

\[ S = \frac{(a + b)h}{2} = \frac{(14 + 14) \times 4}{2} = 56 \]

Так что площадь равнобедренной трапеции равна 56.