Question

1)Периметр треугольника АБС равен 18, его углы А и Б связаны соотношением: 2(сosА + cosБ) = 3+2cos(А+Б). Найти площадь треугольника, стороны которого равны биссектрисам треугольника АБС.

Answer 1

A + B = 180° – C,
cos (A + B) = cos (180 – C) = –cos C.

Данное равенство переписывается так:

cos A + cos B + cos C = ³⁄₂.       (1)

Докажем, что из (1) следует A = B = C = 60°.

Для произвольного треугольника

cos A + cos B = 2 cos ½(A + B) cos ½(A – B),       (2)
cos ½(A + B) = cos ½(180° – C) = cos (90° – ½C) = sin ½C.       (3)

Равенство (3) показывает, что cos ½(A + B) — положительная величина, поэтому из (2) следует, что

cos A + cos B ≤ 2 cos ½(A + B) = 2 sin ½C.

Следовательно,

cos A + cos B + cos C ≤ 2 sin ½C + cos C = 2 sin ½C + 1 – 2 sin² ½C =
= –2(sin ½C – ½)² + ³⁄₂.

Значит, для любого треугольника

cos A + cos B + cos C ≤ ³⁄₂,

причём равенство достигается при sin ½C = ½, cos ½(A – B) = 1, т. е. при A = B = C = 60°.

Итак, треугольник ABC правильный. Сторона равна 18/3 = 6. Биссектрисы (они же высоты и медианы) все три равны 3√3. Площадь (правильного) треугольника из них равна

¼√3 (3√3)² = ²⁷⁄₄√3.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте сначала найдем значения углов треугольника АБС, используя данное соотношение:

2(cosА + cosБ) = 3 + 2cos(А + Б)

Перепишем это уравнение в более удобной форме:

2cosА + 2cosБ = 3 + 2cos(А + Б)

Заметим, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, поэтому А + Б = 180 - С, где С - третий угол треугольника.

Теперь мы можем заменить (А + Б) в уравнении:

2cosА + 2cosБ = 3 + 2cos(180 - С)

Раскроем косинус суммы углов:

2cosА + 2cosБ = 3 + 2(cos180cosС + sin180sinС)

Так как cos180 = -1 и sin180 = 0, упростим уравнение:

2cosА + 2cosБ = 3 - 2cosС

Теперь у нас есть система уравнений:

2cosА + 2cosБ = 3 - 2cosС cosА + cosБ + cosС = 1

Мы можем решить эту систему уравнений, используя методы алгебры или численные методы, чтобы найти значения углов А, Б и С.

Когда мы найдем значения углов, мы можем использовать их для нахождения площади треугольника, стороны которого равны биссектрисам треугольника АБС.

Для этого мы можем использовать формулу площади треугольника по трём сторонам - формула Герона. Формула Герона выглядит следующим образом:

S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

где S - площадь треугольника, a, b и c - длины сторон треугольника, а p - полупериметр треугольника, который можно найти, используя формулу:

p = (a + b + c) / 2

Таким образом, мы можем найти площадь треугольника, стороны которого равны биссектрисам треугольника АБС, используя найденные значения сторон треугольника АБС.