Question

На стороне BC треугольника CBA взята точка P так, что угол BPM=углу BAC (М лежит на ВА), AC=24 см, MP=12 см. Чему равна длина отрезка BP? Во сколько раз площадь треугольника PBM меньше площади треугольника ABC?

Answer 1

рассмотрим   треугольники АВС и МРВ подобны по 2 углам угВ-общий, угВРМ=угСАВ по условию, МР/АС= 1/2 =к -коэфф подобия. ВР/ВС=ВМ/ВА=1/2 , т.е.ВР=1/2ВС=РС итд , значит МР\\АС, 

S (BPM)=(1/2)^2 S (ABC)= 1/4S(ABC)

 

Answer 2

Для решения этой задачи давайте обозначим следующие величины:

- \(AC = 24\) см (длина стороны треугольника ABC). - \(MP = 12\) см. - \(BP = x\) (длина отрезка BP, который мы хотим найти).

Мы знаем, что угол \(BPM\) равен углу \(BAC\). Также, у нас есть сторона \(MP\) и сторона \(AC\), и мы ищем сторону \(BP\).

Давайте рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(MPB\). У них совпадают углы \(B\) и \(M\), а также угол \(BPM\). Поэтому эти треугольники подобны по признаку углов.

Мы можем использовать отношение соответствующих сторон треугольников для нахождения длины отрезка \(BP\).

\[ \frac{BP}{AC} = \frac{MP}{BC} \]

Подставляем известные значения:

\[ \frac{x}{24} = \frac{12}{BC} \]

Теперь решим уравнение относительно \(BC\):

\[ BC = \frac{12 \cdot 24}{x} \]

Таким образом, мы нашли значение стороны \(BC\).

Теперь, чтобы найти длину отрезка \(BP\), подставим это значение в уравнение:

\[ x = \frac{12 \cdot 24}{BC} \]

Теперь, когда у нас есть длина отрезка \(BP\), мы можем рассмотреть площади треугольников \(ABC\) и \(PBM\).

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \]

Площадь треугольника \(ABC\):

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \]

Площадь треугольника \(PBM\):

\[ S_{PBM} = \frac{1}{2} \cdot BP \cdot MP \]

Теперь мы можем выразить отношение площадей:

\[ \frac{S_{PBM}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BP \cdot MP}{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC} \]

Подставим значение \(BC\), которое мы нашли ранее:

\[ \frac{S_{PBM}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BP \cdot MP}{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot \frac{12 \cdot 24}{x}} \]

Упростим выражение, умножив обе части на \(\frac{2}{1}\) и сократив:

\[ \frac{S_{PBM}}{S_{ABC}} = \frac{BP \cdot MP}{AC \cdot 12 \cdot 24/x} \]

Теперь можем подставить значение \(x\) и вычислить это отношение.