Question

Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°,а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см.Найдите гипотенузу треугольника.

Answer 1

Как то так...............................................................................................................................................................

Answer 2

Давайте обозначим углы прямоугольного треугольника следующим образом:

- \( \angle A \) - угол, равный 60 градусов. - \( \angle B \) - прямой угол (90 градусов). - \( \angle C \) - оставшийся угол.

Также обозначим стороны треугольника:

- \( a \) - гипотенуза. - \( b \) - меньший катет. - \( c \) - больший катет.

С учетом этой нотации у нас есть следующие соотношения:

1. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то \(\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ\).

2. С учетом того, что у нас прямоугольный треугольник, мы можем использовать тригонометрические соотношения:

- \(\sin(\angle) = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{гипотенуза}}\), - \(\cos(\angle) = \frac{\text{прилежащая сторона}}{\text{гипотенуза}}\), - \(\tan(\angle) = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{прилежащая сторона}}\).

Применяя теорему синусов к треугольнику ABC, мы получаем:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. Из условия задачи: \( b + c = 26.4 \) (сумма гипотенузы и меньшего катета).

2. Из теоремы синусов: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \).

Теперь давайте решим систему уравнений. Сначала найдем значения \(\sin A\) и \(\sin C\):

- \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), - \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\).

Теперь подставим значения в уравнение теоремы синусов:

\[ \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{c}{\frac{1}{2}} \]

Упростим уравнение:

\[ a = \frac{2c}{\sqrt{3}} \]

Теперь подставим это в первое уравнение системы:

\[ \frac{2c}{\sqrt{3}} + c = 26.4 \]

Умножим обе стороны на \(\sqrt{3}\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[ 2c + c\sqrt{3} = 26.4\sqrt{3} \]

Упростим:

\[ c(2 + \sqrt{3}) = 26.4\sqrt{3} \]

Теперь найдем \(c\):

\[ c = \frac{26.4\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \]

Чтобы найти \(a\), подставим найденное значение \(c\) в уравнение \(a = \frac{2c}{\sqrt{3}}\). Получим:

\[ a = \frac{2 \cdot \frac{26.4\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{3}} \]

Теперь можно вычислить значение \(a\), которое будет являться гипотенузой треугольника.