Question

доказать, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.Это теорема, но я ее не помню.

Answer 1

Пожалуйста, вполне понятно все

Answer 2

Данная теорема называется "Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними" или "Формула полупроизведения".

Для доказательства этой формулы рассмотрим треугольник ABC, где AB и AC - его стороны, а угол между ними обозначим как α.

Проведем высоту BH из вершины B на сторону AC. Пусть точка пересечения высоты и стороны AC обозначается как H.

Так как BH - высота треугольника, то она перпендикулярна стороне AC. Это значит, что угол BAH прямой.

Также, так как угол ABC - это внутренний угол треугольника, то он образует пару соответственных углов с углами треугольника ABH. Значит, угол ABC равен углу ABH.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В этом треугольнике сторона AB - гипотенуза, сторона BH - катет, а угол ABH - прямой угол.

Применим к этому треугольнику основное тригонометрическое соотношение для синуса угла ABH:

sin(ABH) = BH / AB

Так как AB = AC, то можно записать:

sin(ABH) = BH / AC

Умножим обе части этого равенства на сторону AC:

sin(ABH) * AC = BH

Площадь треугольника ABC можно выразить как произведение основания AC на высоту BH, поделив получившееся значение на 2:

S = (AC * BH) / 2

Заменим значение BH в этой формуле на sin(ABH) * AC:

S = (AC * sin(ABH) * AC) / 2

S = (AC^2 * sin(ABH)) / 2

Так как AC^2 - это квадрат длины стороны AC, то можно записать:

S = (AC * AC * sin(ABH)) / 2

S = (AC * AB * sin(ABH)) / 2

Таким образом, мы получили формулу площади треугольника, которая равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними:

S = (AB * AC * sin(ABH)) / 2

Или, если обозначить угол ABC как α:

S = (AB * AC * sin(α)) / 2

Таким образом, формула полупроизведения доказана.