Question

340. Основанием призмы является трапеция. Доказать, что плоскость, проходящая через середины оснований трапеций, разбивает ее на две равновеликие призмы

Answer 1

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.
При разделении плоскостью, проходящей через середины сторон трапеции высоты получившихся призм одинаковы, и нужно показать, что линия пересечения плоскости с основанием делит его на две равные по площади фигуры. Это легко. Для основания: S трап = 0,5 (а + в) h
Линия пересечения проходит через середины оснований, значит, она рассекает каждое основание на две равные части: 0,5а и 0,5а; 0,5в и 0,5в.
получившиеся фигуры  - тоже трапеции и площади их равны: S лев = S прав = 0,5 (0,5а + 0,5в) h.
Итак, площади оснований половинок призмы - одинаковы, а высота  - как была, так и осталась Н. Следовательно, и получившиеся призмы - равновелики., т.е. равны по объёму

Answer 2

Основание призмы и плоскость, проходящая через середины оснований трапеции

Для доказательства того, что плоскость, проходящая через середины оснований трапеции, разбивает ее на две равновеликие призмы, мы можем использовать следующий подход:

1. Предположим, что у нас есть трапеция с основаниями AB и CD, а плоскость, проходящая через середины этих оснований, обозначается как M.

2. Чтобы доказать, что плоскость M разбивает трапецию на две равновеликие призмы, нам нужно показать, что объемы этих призм равны.

3. Рассмотрим две призмы, образованные плоскостью M: призму ABEF и призму CDEF.

4. Обратим внимание, что плоскость M проходит через середины оснований AB и CD. Это означает, что плоскость M также проходит через середины боковых ребер AE и CF.

5. Таким образом, мы можем сделать вывод, что боковые грани призмы ABEF и призмы CDEF являются параллелограммами, так как они имеют противоположные стороны, равные и параллельные.

6. Поскольку боковые грани призмы ABEF и призмы CDEF являются параллелограммами, их площади равны.

7. Также обратим внимание, что высота призмы ABEF равна высоте призмы CDEF, так как плоскость M проходит через середины боковых ребер AE и CF.

8. Следовательно, объемы призмы ABEF и призмы CDEF равны, так как они имеют одинаковые площади оснований и одинаковую высоту.

Таким образом, мы доказали, что плоскость, проходящая через середины оснований трапеции, разбивает ее на две равновеликие призмы.

Примечание: Для более подробной информации и графического представления этого доказательства, рекомендуется обратиться к учебникам по геометрии или онлайн ресурсам, которые предоставляют визуальные материалы для подобных доказательств.