Question

В треугольнике АВС медианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АВО равна S. Помогите, пожалуйста!

Answer 1

Две медианы делят треугольник на 3 треугольника, равных по площади. Следовательно, площадь треугольника АВС=3*S.

Answer 2

Пусть точка O делит медианы AA1 и BB1 в отношении m:n, то есть AO:OA1 = m:n и BO:OB1 = m:n.

Так как медиана делит сторону треугольника пополам, то AO = 2/3 AA1 и BO = 2/3 BB1.

Тогда AO:BO = (2/3 AA1):(2/3 BB1) = AA1:BB1 = m:n.

Так как AO:BO = AA1:BB1, то треугольники AOB и A1OB1 подобны по теореме о соответственных сторонах подобных треугольников.

Значит, площадь треугольника AOB равна (AO/BO)^2 * площадь треугольника A1OB1 = (m/n)^2 * S.

Так как треугольник AOB является частью треугольника ABC, то его площадь равна площади треугольника ABC, умноженной на отношение площадей AOB и ABC.

То есть площадь треугольника ABC = (площадь треугольника AOB) * (площадь треугольника ABC / площадь треугольника AOB) = (m/n)^2 * S * (площадь треугольника ABC / (m/n)^2 * S) = площадь треугольника ABC.

Таким образом, площадь треугольника ABC равна площади треугольника AOB, которая равна (m/n)^2 * S.