Question

Найти среднюю линию трапеции, описанную около окружности, если площадь равна 312,5, а угол при основании равен 30

Answer 1

Если вокруг трапеции описана окружность, то эта трапеция равнобочная и сумма противопложных сторон равна, то есть если a- боковая сторона трапеции, а b b с ее основания,то

2a=b+c

Поскольку угол при основании равен 30°, то высота трапеции равна половине гипотенузы (боковой стороны, то есть h=a/2

h=a/2=(b+c)/2:2=(b+c)/4

 

Площадь трапеции равна

S=((b+c)/2)*h=((b+c)/2)*(b+c)/4)=((b+c)/2)^2*(1/2)

 

312,5=((b+c)/2)^2*(1/2) => 625=((b+c)/2)^2

((b+c)/2)=sqrt(625)=25 - средняя линия трапеции

 

 

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

\( S \) - площадь трапеции, \( h \) - высота трапеции, \( a \) и \( b \) - основания трапеции.

Известно, что площадь трапеции \( S \) равна 312,5, а угол при основании равен 30 градусов.

Формула для площади трапеции:

\[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h \]

Также известно, что трапеция описана около окружности. Поскольку угол при основании равен 30 градусам, это значит, что каждый из двух углов, образованных радиусами, равен 75 градусам (угол в половине угла при основании).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной основания трапеции, высотой и радиусом окружности. У нас есть следующее:

1. \( h \) - высота трапеции, 2. \( r \) - радиус окружности, 3. \( \frac{a}{2} \) - половина основания трапеции.

Из этого треугольника можно записать следующее уравнение для тангенса угла \( 75^\circ \):

\[ \tan(75^\circ) = \frac{h}{\frac{a}{2} - r} \]

Теперь давайте решим это уравнение относительно \( h \).

\[ h = (\frac{a}{2} - r) \cdot \tan(75^\circ) \]

Подставим это значение \( h \) в формулу для площади трапеции:

\[ S = \frac{a + b}{2} \cdot (\frac{a}{2} - r) \cdot \tan(75^\circ) \]

Мы также знаем, что \( a + b = \frac{h}{\tan(30^\circ)} \), так как угол при основании трапеции равен 30 градусам.

Таким образом, у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} S = \frac{a + b}{2} \cdot (\frac{a}{2} - r) \cdot \tan(75^\circ) \\ a + b = \frac{h}{\tan(30^\circ)} \end{cases} \]

Подставим второе уравнение в первое и решим систему уравнений для нахождения \( a \) и \( b \), а затем найдем среднюю линию трапеции \( c \) (она равна полусумме оснований):

\[ c = \frac{a + b}{2} \]

Таким образом, средняя линия трапеции равна \( c \).