Question

Площадь основания правильной четырехугольной призмы равна 18 см^2. Диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов.Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около призмы.

Answer 1

АВСДА1В1С1Д1 - правильная призма. Основаниями правильной четырехугольной призмы являются квадраты.
Найдем сторону этого квадтара (ребро при основании)
АВ = √18 = 3√2 см
ВД1 - диагональ призмы.
Найдем ВД - диагональ основания
ВД = 3√2 * √2 = 6 см
Так как диагональ ВД1 наклонена к плоскости основания по углом 45, то треуг. ВВ1Д1 прямоугольный и равнобедренный. Высота призмы ВВ1 = ВД = 6 см.
Площадь боковой поверхности цилиндра, описаного около призмы равна произведению длины окружности в основании на высоту цилиндра.
Высота цилиндра равна высоте призмы, т.е. 6 см.
Диаметром окружности является диагональ основания призмы ВД.
S (боковое) = П * 6 * 6 = 36*П см.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим правильную четырехугольную призму. Пусть ее основание - квадрат, и его площадь равна \(18 \, \text{см}^2\). Обозначим сторону квадрата через \(a\).

Поскольку у нас правильная призма, то угол между диагональю призмы и плоскостью её основания равен 45 градусам. Это создает прямоугольный треугольник с катетами \(a\) и \(a\) (так как квадрат), и гипотенузой (диагональю) \(d\).

Используем тригонометрический косинус:

\[\cos(45^\circ) = \frac{a}{d}\]

\[\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a}{d}\]

\[d = \frac{a}{\sqrt{2}}\]

Теперь, площадь боковой поверхности призмы (Sб) вычисляется по формуле:

\[Sб = p \cdot h\]

где \(p\) - периметр основания, \(h\) - высота призмы.

Периметр квадрата:

\[p = 4a\]

Также, из свойств правильной призмы, высота равна длине боковой грани, а также она равна диагонали основания. Таким образом, \(h = d\).

Теперь, мы можем выразить площадь боковой поверхности призмы:

\[Sб = p \cdot h = 4a \cdot \frac{a}{\sqrt{2}}\]

\[Sб = \frac{4a^2}{\sqrt{2}}\]

Теперь у нас есть выражение для площади боковой поверхности призмы. Однако, по условию, нам нужно найти площадь боковой поверхности цилиндра, описанного вокруг этой призмы.

Поскольку цилиндр описан вокруг призмы, его высота равна высоте призмы, а радиус равен половине длины диагонали основания призмы (так как цилиндр описан вокруг призмы).

\[r = \frac{d}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}\]

Теперь, площадь боковой поверхности цилиндра (Sцил) вычисляется по формуле:

\[Sцил = 2\pi r \cdot h\]

Подставим значения:

\[Sцил = 2\pi \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}}\]

\[Sцил = \frac{2\pi a^2}{2}\]

\[Sцил = \pi a^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра, описанного вокруг данной призмы, равна \(\pi a^2\).