Question

Существует ли треугольник у которого длины сторон и длины высот являются натуральными числами?

Answer 1

Да существует, потому что натуральное число это число с высотой

Answer 2

Да, существуют такие треугольники, и они называются пифагоровыми тройками. Тройка натуральных чисел (a, b, c) называется пифагоровой тройкой, если выполняется теорема Пифагора:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - длины сторон треугольника, а \(c\) - гипотенуза. Если \(a\), \(b\), и \(c\) являются натуральными числами, то это называется пифагоровым треугольником с натуральными сторонами.

Например, тройка (3, 4, 5) является пифагоровой тройкой, потому что \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\).

Еще одним примером может быть тройка (5, 12, 13), так как \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\).

Существует бесконечное количество пифагоровых троек, и они могут быть получены с использованием формулы:

\[a = m^2 - n^2\] \[b = 2mn\] \[c = m^2 + n^2\]

где \(m\) и \(n\) - любые натуральные числа, причем \(m > n\), и оба числа нечетные. Эта формула гарантирует получение пифагоровой тройки.