Question

ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямая четырехугольная призма, объем которой равен 720. Основанием призмы является параллелограмм ABCD. Точки M и N принадлежат ребрам A₁D₁ и C₁D₁ так, что A₁M : MD₁ = 1 : 2, D₁N : NC₁ = 1 : 2. Отрезки A₁N и B₁M пересекаются в точке К. Найдите объем пирамиды SB₁KNC₁, если S ∈ B₁D и B₁S : SD = 3 : 1.

Answer 1

Для удобства решения , перенесём симметрично точку K в нижнее основание ABCD (все пересечения абсолютно те же) то есть точкам A,B,C,D соответствуют точки A1,B1,C1,D1. Тогда точка K пересечения прямых BM и AN .
Найдём соотношение BK/KM , проведём в параллелограмме ABCD диагональ BD , O точка пересечения диагоналей , L точка пересечения AN с BD , E точка пересечения CL с AD , тогда для треугольника ACD применим теорему Чевы , (DN/CN)*(CO/AO)*(AE/ED) = 1 или по условию (1/2)*(1/1)*(AE/ED) = 1 откуда AE/ED = 2 , применим теперь теорему Ван Обеля , получаем DL/LO = DE/EA + DN/CN = 1/2+1/2 = 1, Значит BL/LD = 3/1 , теперь применим теореме Менелая для секущей AL треугольника BMD , получаем (DL/BL) * (BK/KM) * (AM/AD) = 1 или (1/3)*(BK/KM)*1/3 = 1
значит BK/KM = 9 .
Найдём соотношение AK/KN , он находится аналогично , распишу только алгоритм ,положим что X точка пересечения DK с AB , Y точка пересечения DK с AC. Находим соотношение AX/XB по теореме Менелая для секущей DX треугольника ABM оно равно AX/XB = 1/6 , находим AY/OY по той же теореме для чекушей DX треугольника ABO , и находим AK/KN опять же теорема Менелая , оно равно AK/KN=3/7 .
S(XYZ) - это площадь треугольника XYZ как пример.
Теперь S(ABK)/S(AKM) = 9 , S(ABM)=S(ABCD)/(2*3)=S(ABCD)/6 , тогда S(ABK) = 9*S(AKM) то есть S(ABM) = 10*S(AKM) значит S(AKM) = S(ABCD)/60 , заметим что площади треугольников S(ABM) = S(AND) , значит S(BKNC) = S(ABCD) - (6S(ABCD)/20+S(ABCD)/60) = 41S(ABCD)/60 или S(B1KNC1) = S(A1B1C1D1)*41/60
Так как прямая призма - это прямой параллепиппед .
Опустим перпендикуляр из точки S На плоскость A1B1C1D1 положим что Z , тогда из подобия треугольников SZB1 и DB1D1 подучим SZ=3/4*(DD1).
Так как V(ABCDA1B1C1D1) = S(A1B1C1D1)*DD1 = 720 , найдём V(SB1KNC1) = S(B1KNC1)*SZ/3 подставляя найденные значения получим V= 41/60*3/4*720/3 = 123 .

Answer 2

I found some web search results that might help you with your question. Here is a summary of the answer:

The volume of the pyramid SB₁KNC₁ is 123. To find it, you need to use the following steps:

- Find the ratio of BK/KM and AK/KN using the theorems of Cheva, Van Obel and Menelaus for the triangles ACD, BMD and ABO in the base ABCD of the prism. - Find the area of the quadrilateral BKNC using the areas of the triangles ABK, AKM, ABM and AND in the base ABCD of the prism. - Find the height of the pyramid SB₁KNC₁ using the similarity of the triangles SZB₁ and DB₁D₁ and the given ratio of B₁S : SD. - Find the volume of the pyramid SB₁KNC₁ using the formula V = S * h / 3, where S is the area of the base and h is the height.

You can see the detailed solution and explanation in the first web search result. The other results might also be useful for you to learn more about the prism and its properties. I hope this helps you.