Question

В прямокутний трикутник вписано коло з радіусом 4 см. Точка дотику ділить гіпотенузу на відрізки, довжини яких відносяться як 10 : 3. Знайдіть сторони трикутника.

Answer 1

Точки касания окружности пусть будут на стороне AB-точкка N.
У BC-м.а у AC-k
по свойству касаний окружности известно что AN=AK. NB=BM. MC=KC
пусть AN=x тогда AK+KC=AC=x+3, X+BN=x+2==AB
по теореме пифагора:
(x+3)^2+(x+2)^2=25
x^2+5x-6=0
x=-6 неудовлитворяет. x=1 
O-центр окружности.
ON=OK и ON парралельно AK.Значит ANOK-квадрат. значит ON=AK=x=1
ответ:1                             ( наверное так)

Answer 2

Давайте обозначим параметры задачи:

- \(AB\) - гипотенуза прямоугольного треугольника. - \(BC\) и \(AC\) - катеты треугольника. - \(O\) - центр вписанного круга. - \(OD\) - радиус вписанного круга. - \(M\) - точка касания круга с гипотенузой. - \(MD\) и \(MC\) - отрезки, на которые гипотенуза разбивается точкой \(M\), где \(MD\) соответствует отношению 10:3.

Мы знаем, что \(OD = 4\,см\). Также, \(MD:MC = 10:3\). Обозначим \(MD\) как \(10x\), а \(MC\) как \(3x\), где \(x\) - некоторый коэффициент.

Теперь у нас есть два отношения: \(MD:OD = 10:3\) и \(OD:MC = 4:3\).

1. Отношение \(MD:OD = 10:3\) дает нам уравнение:

\[10x : 4 = 4 : 3\]

Решим это уравнение:

\[10x = \frac{4}{3} \times 4\]

\[10x = \frac{16}{3}\]

\[x = \frac{8}{15}\]

2. Теперь мы можем найти \(MD\) и \(MC\):

\[MD = 10x = 10 \times \frac{8}{15} = \frac{16}{3}\,см\]

\[MC = 3x = 3 \times \frac{8}{15} = \frac{8}{5}\,см\]

3. Теперь мы можем найти \(AB\), зная, что \(AB = MD + MC\):

\[AB = \frac{16}{3} + \frac{8}{5}\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[AB = \frac{80}{15} + \frac{24}{15} = \frac{104}{15}\,см\]

Таким образом, сторона гипотенузы \(AB\) равна \(\frac{104}{15}\,см\). Осталось найти катеты \(BC\) и \(AC\).

Используем теорему Пифагора:

\[AB^2 = BC^2 + AC^2\]

\[\left(\frac{104}{15}\right)^2 = BC^2 + AC^2\]

\[BC^2 + AC^2 = \frac{10816}{225}\]

Теперь у нас есть одно уравнение с двумя неизвестными. Однако мы знаем, что отношение катетов равно 10:3:

\[\frac{BC}{AC} = \frac{10}{3}\]

Следовательно, мы можем записать еще одно уравнение:

\[BC = 10k, \quad AC = 3k\]

где \(k\) - коэффициент пропорциональности.

Подставим это в уравнение Пифагора:

\[(10k)^2 + (3k)^2 = \frac{10816}{225}\]

\[100k^2 + 9k^2 = \frac{10816}{225}\]

\[109k^2 = \frac{10816}{225}\]

\[k^2 = \frac{10816}{24725}\]

\[k = \sqrt{\frac{10816}{24725}}\]

Таким образом, мы нашли значение коэффициента \(k\), а затем можем найти \(BC\) и \(AC\):

\[BC = 10k\]

\[AC = 3k\]

Таким образом, мы можем найти стороны прямоугольного треугольника.