Question

Доказать. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является его биссектрисой и высотой.

Answer 1

Обозначим вершины данного треугольника через A, B и C. Итак, пустьAB=BC. Проведем биссектрису угла B до пересечения со стороной AC в точке L. Заметим, что треугольники ABL и CBL равны по первому признаку (AB=BC, BL— общая и ∠ABL=∠CBL).  Значит, AL=LC и ∠ALB=∠CLB=90°. Поэтому биссектриса  BLявляется совпадает с медианой и высотой. 

Answer 2

Доказательство того, что медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является его биссектрисой и высотой, можно провести с использованием геометрических свойств треугольника.

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC. Пусть M - середина стороны BC, тогда медиана AM проходит через точку M и делит сторону BC пополам.

Медиана и биссектриса

Чтобы доказать, что медиана AM является биссектрисой, нам нужно показать, что она делит угол BAC пополам.

Для этого рассмотрим треугольник ABC. Известно, что AB = AC, поэтому углы B и C равны между собой. Поскольку M - середина стороны BC, то BM = MC. Значит, треугольники ABM и ACM равнобедренные.

Теперь рассмотрим угол BAC. Поскольку AB = AC, углы B и C равны, следовательно, угол BAC равен 180 градусов минус два угла B или C, то есть BAC = 180 - 2B (или 180 - 2C).

Так как треугольники ABM и ACM равнобедренные, то углы ABM и ACM равны между собой, то есть ABM = ACM = B (или C).

Таким образом, угол BAM равен половине угла BAC, поскольку ABM является равнобедренным треугольником. По определению биссектрисы, медиана AM делит угол BAC пополам. Таким образом, медиана AM является биссектрисой треугольника ABC.

Медиана и высота

Чтобы доказать, что медиана AM является высотой, нам нужно показать, что она перпендикулярна к основанию треугольника.

Для этого рассмотрим треугольник ABC. Поскольку M - середина стороны BC, то BM = MC.

Теперь рассмотрим высоту BH, проведенную из вершины B к основанию AC. Если медиана AM является высотой, то она должна быть перпендикулярна к основанию AC.

Рассмотрим треугольники ABH и AMH. Известно, что AM - медиана, поэтому AM делит сторону BH пополам, то есть BM = MH.

Также, по условию равнобедренности треугольника ABC, AB = AC.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и AMH. Известно, что BM = MH, а AB = AC, значит, треугольники ABH и AMH равны между собой по стороне-прилежащей (BM = MH) и гипотенузе (AB = AC).

Таким образом, углы ABH и AMH равны между собой, что означает, что медиана AM перпендикулярна к основанию AC.

В результате доказано, что медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является его биссектрисой и высотой.