Question

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC биссектриса AD отсекает треугольник CAD, подобный ABC. Найдите углы треугольника ABC.

Answer 1

Ответ "Все по 60°" - неверен, так как если все углы треугольника АВС по 60°, то тр-к АВС НЕ подобен тр-ку САD, так как <DAС=30 (AD- биссектриса).
Решение:
Треугольники АВС и DAC подобны (дано). Угол С - общий. Значит < A треугольника АВС равен углу ADC треугольника DAC, а угол В треугольника АВС равен углу DAC треугольника DAC, то есть <B=0,5*<A. Но угол C равен углу А, так как треугольник АВС равнобедренный. Тогда в треугольнике АВС: <A+<B+<C =<A+0,5*<A+<A=180°. Отсюда <A=180°/2,5 = 72°. Итак,
Ответ: <A=<C=72°, <B=36°

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством биссектрисы треугольника.

Так как треугольник ABC является равнобедренным, то у него две равные стороны AB и BC. Пусть эти стороны равны a, а третья сторона AC равна b.

Также известно, что биссектриса AD отсекает треугольник CAD, подобный треугольнику ABC.

Из подобия треугольников ABC и CAD следует, что соответствующие углы этих треугольников равны. Обозначим угол BAC = α и угол BCA = β.

Тогда угол CAD = α и угол CDA = β.

Так как у треугольника ABC сумма углов равна 180 градусов, то имеем:

α + β + угол B = 180°.

У равнобедренного треугольника угол B равен 180° - 2β. Подставляем это значение в предыдущее уравнение:

α + β + (180° - 2β) = 180°.

Сокращаем на 180°:

α + β - 2β = 0.

Раскрываем скобки:

α - β = 0.

Таким образом, получаем, что углы треугольника ABC равны между собой.

Ответ: углы треугольника ABC равны.