Question

Помогите. Найдите объем правильной треугольной пирамиды,если ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°,а апофема равна корню из 15 дм.

Answer 1

Проведём осевое сечение через ребро SA и апофему SД.
Получим треугольник ASД с высотой SО.
Основание АД этого треугольника является высотой и медианой h основания пирамиды АВС.
Так как ребро SA наклонено под углом 45° к основанию, то отрезок АО (он равен 2/3 АД) равен высоте SО пирамиды.
Отрезок ОД равен 1/3 АД.
Тогда тангенс угла SДA равен: tgβ = (2/3)/(1/3) = 2.
Синус этого угла равен:
sinβ = tgβ/(√(1+tg²β) = 2/√(1+2²) = 2/√5.
Угол SДA равен arc tg 2 =  1,107149 радиан = 63,43495°.
Угол  АSД равен 180°- 45°- 63,43495° = 71,56505°. 
Воспользуемся теоремой синусов для определения АД.
Синус АSД равен 0,948683.
Тогда АД = (SД/sin 45°)*sin АSД = (√15/(1/√2))*0,948683 =
                = 5,196152 дм.
Сторона основания пирамиды а =АД/cos30° = 
= 5,196152/(√3/2) = 6 дм.
Площадь основания So = a²√3/4 = 36√3/4 = 9√3 дм².
Высота пирамиды H = SO = (2/3)*АД = (2/3)*5,196152 = 
= 3,464102 = 2√3 дм.
Объём пирамиды равен:
 V = (1/3)So*H = (1/3)*9√3*2√3 = 18 дм³.

Answer 2

Для поиска объема правильной треугольной пирамиды, нам необходимо знать длину бокового ребра и длину апофемы. В данном случае, у нас даны следующие параметры:

Длина апофемы (a) = √15 дм Угол между боковым ребром и плоскостью основания (θ) = 45°

Нахождение длины боковой грани

Для начала, мы можем найти длину бокового ребра (b), используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром, апофемой и высотой пирамиды.

Высота пирамиды (h) - это отрезок перпендикулярный к основанию пирамиды, идущий от вершины до центра основания. В правильной треугольной пирамиде, высота является медианой и делит боковое ребро пополам.

Таким образом, длина бокового ребра равна удвоенной длине высоты, то есть: b = 2h.

Нахождение высоты пирамиды

Чтобы найти высоту пирамиды (h), мы можем использовать тригонометрические соотношения в том же прямоугольном треугольнике.

В нашем случае, угол между боковым ребром и апофемой равен 45°. Зная это, мы можем использовать тангенс угла для нахождения высоты пирамиды:

tan(45°) = h / a

Разрешая уравнение относительно h, мы получаем:

h = a * tan(45°)

Нахождение объема пирамиды

Теперь, когда у нас есть длина бокового ребра (b) и высота пирамиды (h), мы можем найти объем пирамиды (V) с использованием следующей формулы:

V = (1/3) * S * h

где S - площадь основания пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде, площадь основания (S) можно выразить через длину стороны основания (a) следующим образом:

S = (sqrt(3) * a^2) / 4

Соединяя все вместе, мы можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) * [(sqrt(3) * a^2) / 4] * [a * tan(45°)]

Теперь, давайте рассчитаем значения и найдем ответ.