Question

В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС биссектриса угла BAD проходит через середину М стороны CD. Известно, что АВ = 5, АМ = 4. Найдите длину отрезка ВМ

Answer 1

Трапеция АВСД, АД||ВС, <ВАМ=<ДАМ, АВ=5, АМ=4. 
Продолжим АМ до пересечения со стороной ВС, точка их пересечения Е.
Полученный ΔАВЕ: углы при основании <ВАЕ=<ВЕА (<ДАЕ=<ВЕА как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей АЕ), значит ΔАВЕ - равнобедренный (АВ=ВЕ=5).
ΔАМД и ΔЕМС равны по трем углам (накрест лежащие углы<ДАМ=<СЕМ и <АДМ=<ЕСМ, вертикальные углы <ЕМС=<АМД), значит АМ=МЕ=4.
Следовательно в ΔАВЕ ВМ является медианой, проведенной к основанию АЕ, а значит и биссектрисой, и высотой.
ВМ²= АВ²-АМ²=25-16=9
ВМ=3

Answer 2

Давайте рассмотрим трапецию ABCD и введем обозначения:

- \( AB \) и \( CD \) - основания трапеции, - \( AD \) и \( BC \) - боковые стороны трапеции, - \( M \) - середина стороны \( CD \), - \( \angle BAD \) - угол при вершине \( A \), - \( BM \) - биссектриса угла \( BAD \), - \( AM = 4 \), - \( AB = 5 \).

Мы знаем, что биссектриса угла \( BAD \) проходит через середину стороны \( CD \). Таким образом, \( BM \) является медианой треугольника \( ACD \), и, следовательно, \( BM \) делит \( AC \) пополам.

Мы также знаем, что \( AB = 5 \) и \( AM = 4 \). Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике \( ABM \):

\[ BM^2 + AM^2 = AB^2. \]

Подставим известные значения:

\[ BM^2 + 4^2 = 5^2. \]

Решим уравнение:

\[ BM^2 + 16 = 25, \]

\[ BM^2 = 25 - 16, \]

\[ BM^2 = 9. \]

Теперь найдем длину отрезка \( BM \):

\[ BM = \sqrt{9} = 3. \]

Таким образом, длина отрезка \( BM \) равна 3.