Question

Докажите теорему что все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой

Answer 1

Расстояние между двумя параллельными прямыми есть  длина перпендикуляра, опущенного из некой точки одной прямой на другую.

. Пусть даны параллельные прямые m и k

Возьмём на прямой m произвольную точку А и проведем через неё перпендикуляр до пересечения с прямой k в точке В

Так как  если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она  перпендикулярна и к другой, то углы, образованные отрезком АВ - и прямыми m и k - прямые. 

Таким же образом выберем на некотором расстоянии от т.А точку D и проведем через неё перпендикуляр DC, который образует с прямыми m и k прямые углы. 

Четырёхугольник АВСD- прямоугольник (все углы прямые). Так как в прямоугольнике противоположные стороны равны, АВ=СD, т.е точки А и D на прямой m равноудалены от прямой k. =>

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. 

-------------

Существуют и другие доказательства. Попробуйте найти их самостоятельно. 

Answer 2

Theorem: All points on each of two parallel lines are equidistant from the other line.

To prove the theorem that all points on each of two parallel lines are equidistant from the other line, we can use the properties of parallel lines and the definition of equidistance.

Proof:

Let's consider two parallel lines, line AB and line CD.

1. Take an arbitrary point P on line AB. 2. Draw a perpendicular line from point P to line CD, and let the point of intersection be point Q. 3. Now, we need to prove that the distance from point P to line CD is equal to the distance from point Q to line AB.

To prove this, we will use the following properties:

- Property 1: Any two lines that are perpendicular to the same line are parallel to each other. - Property 2: If a line is perpendicular to one of two parallel lines, it is perpendicular to the other line as well. - Property 3: If two lines are parallel, any line perpendicular to one of them is also perpendicular to the other.

Using these properties, we can conclude that line PQ is parallel to line AB.

Now, let's consider a point R on line CD, which is equidistant from line AB. We need to prove that point R is also equidistant from line PQ.

To prove this, we can use the following steps:

1. Draw a perpendicular line from point R to line AB, and let the point of intersection be point S. 2. Since line PQ is parallel to line AB, line RS is also perpendicular to line PQ. 3. Now, we have two lines, PQ and RS, that are perpendicular to each other. According to Property 3, these lines are parallel. 4. Since point R is equidistant from line AB, point S is also equidistant from line CD. 5. Therefore, all points on line CD are equidistant from line AB, and the theorem is proved.

Conclusion: The theorem states that all points on each of two parallel lines are equidistant from the other line. This can be proven using the properties of parallel lines and the definition of equidistance.