Question

в прямоугольном треугольнике ABC катет BC равен 8, радиус вписанной окружности равен 2. Найти расстояние между центром вписанной и центром описанной окружности. угол C равен 90 градусов

Answer 1

Здесь решение очень упрощается, если сообразить, что это "египетский" треугольник, то есть подобный тр-ку со сторонами 3,4,5 и радиусом вписанной окрузности (3+4-5)/2 = 1, но с удвоенными размерами. 

То есть второй катет равен 6, а гипотенуза 10.

Если поместить это треугольник на координатную плоскость (угол С - в начало координат, катеты - по осям), то центру вписанной окружности соответствует точка (2,2), а центр описанной окружности находится в середине гипотенузы, то есть имеет координаты (3,4) (или (4,3), как выбрать оси:), на ответ это не влияет), осталось найти расстояние между этими точками.

x^2 = (4-2)^2 + (3-2)^2 = 5.

Ответ корень(5).

 

Можно тупо воспользоваться соотношением r = (a+b-c)/2; откуда с = а+4, (a+4)^2 = a^2 +8^2; a = 6; c = 10; но это очень скучно :)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и окружностей, вписанных в него.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник \(ABC\), где \(\angle C = 90^\circ\), и известно, что катет \(BC\) равен 8, а радиус вписанной окружности \(r = 2\).

Сначала найдем площадь треугольника \(ABC\). Площадь прямоугольного треугольника можно выразить двумя способами: как произведение катетов, деленное на 2, и как половина произведения его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе. Пользуясь известной формулой \(S = \frac{ab}{2}\), где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - длины катетов, получим:

\[S_{ABC} = \frac{BC \times AC}{2} = \frac{8 \times AC}{2} = 4 \times AC\]

Также известно, что площадь треугольника можно выразить через его радиус вписанной окружности, \(r\), и полупериметр, \(p\), по формуле \(S_{ABC} = rp\), где \(p\) равен полупериметру треугольника \(ABC\), а \(r\) - радиус вписанной окружности. Полупериметр выражается как \(p = \frac{a + b + c}{2}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника \(ABC\). В нашем случае \(a = BC = 8\), \(b = AC\) и \(c = AB\). Таким образом, площадь треугольника можно выразить через \(r\) и \(p\):

\[S_{ABC} = rp = 2p\]

Из равенства двух выражений для площади треугольника найдем выражение для полупериметра:

\[4 \times AC = 2p\] \[AC = \frac{2p}{4}\] \[AC = \frac{p}{2}\]

Теперь вспомним известное свойство: радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике равен половине гипотенузы, то есть \(r = \frac{AB + BC - AC}{2}\). Мы уже знаем, что \(BC = 8\), \(AC = \frac{p}{2}\) и \(r = 2\). Подставим известные значения:

\[2 = \frac{AB + 8 - \frac{p}{2}}{2}\] \[4 = AB + 8 - \frac{p}{2}\] \[AB = \frac{p}{2} - 4\]

Теперь найдем выражение для гипотенузы через полупериметр \(p\):

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\] \[(\frac{p}{2} - 4)^2 = (\frac{p}{2})^2 + 8^2\] \[\frac{p^2}{4} - 4p + 16 = \frac{p^2}{4} + 64\] \[- 4p + 16 = 64\] \[- 4p = 64 - 16\] \[- 4p = 48\] \[p = \frac{48}{-4}\] \[p = -12\]

Теперь мы знаем, что полупериметр \(p = -12\). Однако, физически не может быть отрицательного значения для полупериметра. Возможно, я допустил ошибку в вычислениях. Давай еще раз проверим расчеты, чтобы найти правильный ответ.