Question

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной в него окружности и гипотенузы делит гипотенузу на отрезки, длины которых равны 3 и 7. Найдите площадь треугольника

Answer 1

пусть х - расстояние от прямого угла до точек касания вписанной окружности катетов (радиус вписанной окружности по совместительству)

тогда из равенства касательных длины катетов равны x+3 и x+7

из т.пифагора

(3+7)^2 = (x+3)^2 + (x+7)^2

42 = 2 x^2 + 20 x

x^2 + 10x - 21 = 0

D' = 25 + 21 = 46

x = -5 +- sqrt(46)

выбираем положительный корень

 

площадь (x+3)*(x+7)/2 = (sqrt(46)-2)(sqrt(46)+2)/2 = (46-4)/2 = 21

 

Answer 2

Пусть точка касания вписанной окружности и гипотенузы разделяет гипотенузу на отрезки длиной 3 и 7. Обозначим длину гипотенузы как c.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике, вписанной окружности и гипотенузы точка касания является серединой отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой, где окружность касается гипотенузы. Поэтому, отношение длин отрезков, на которые гипотенуза делится, равно отношению длины отрезка от точки касания до вершины треугольника к длине отрезка от точки касания до точки, где окружность касается гипотенузы.

Таким образом, мы можем записать: c = 3 + 7 c = 10

Теперь мы можем найти площадь треугольника, используя формулу:

Площадь треугольника = (1/2) * основание * высота

В прямоугольном треугольнике, гипотенуза является основанием, а расстояние от вершины треугольника до прямой, содержащей гипотенузу, является высотой. Поскольку точка касания является серединой гипотенузы, высота равна половине длины гипотенузы.

Таким образом, площадь треугольника будет:

Площадь треугольника = (1/2) * c * (c/2) = (1/2) * 10 * 5 = 25

Ответ: Площадь треугольника равна 25.