Question

Каким свойством обладает трапеция, если она является вписанной и описаннойодновременно. Докажите свойство четырёхугольника вписанного в окружность.

Answer 1

Если трапеция вписана, то сумма её противоположных углов равна 180 градусов.
Если в трапецию вписана окружность, значит сумма её противоположных сторон, равна сумме двух других противоположных сторон данной трапеции.
Действительно углы вписанного четырёхугольника в сумме будут давать 180 градусов, так как если начертить рисунок можно увидеть, что два противолежащих углы данного четырёхугольника будут опираться на две дуги, которые в сумме дают 360 градусов. А вписанные углы равны половине дуги, на которую опираются, следовательно 360/2=180, ч.т.д

Answer 2

Если трапеция является вписанной и описанной одновременно, то это значит, что она может быть вписана в окружность и описана около нее.

Свойство четырехугольника, вписанного в окружность, заключается в том, что сумма противолежащих углов равна 180 градусам.

Докажем это свойство. Рассмотрим четырехугольник ABCD, вписанный в окружность с центром O. Проведем диагонали AC и BD.

По свойству окружности, угол AOB равен половине центрального угла ACB, то есть угол AOB = (1/2)∠ACB.

Аналогично, угол AOC равен половине центрального угла ADB, то есть угол AOC = (1/2)∠ADB.

Также по свойству окружности, угол AOB = ∠ACB и угол AOC = ∠ADB.

Из этих равенств следует, что ∠ACB = ∠ADB.

Теперь рассмотрим сумму углов ∠ACB и ∠ADB:

∠ACB + ∠ADB = ∠ACB + ∠ACB (по равенству ∠ACB = ∠ADB) = 2∠ACB

Также из свойства трапеции мы знаем, что ∠ACB + ∠BDA = 180 градусов.

Из этих равенств следует, что 2∠ACB + ∠BDA = 180 градусов.

Таким образом, сумма противолежащих углов ∠ACB и ∠BDA равна 180 градусов.

Это свойство применимо не только к трапеции, но и к любому четырехугольнику, вписанному в окружность.