Question

Докажите, что прямая. лежащая в плоскости, перпендикулярна к наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна к ортогональной проекции этой на наклонной на данную плоскость. С рисунком.

Answer 1

Теорема о трех перпендикулярах.

Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной на данную плоскость.

 

DВ -проекция наклонной МВ. 
DВ- диагнональ квадрата АВСD и пересекается с АС под прямым углом, т.е. ⊥АС.
АС ⊥проекции МВ  ⇒МВ ⊥ АС

Answer 2

Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна к наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна к ортогональной проекции этой на наклонной на данную плоскость.

Для доказательства данного утверждения, рассмотрим следующую ситуацию:

Пусть у нас есть плоскость P и прямая l, лежащая в этой плоскости. Также, пусть у нас есть наклонная N, которая пересекает плоскость P. Наша задача - доказать, что прямая l перпендикулярна к наклонной N тогда и только тогда, когда она перпендикулярна к ортогональной проекции наклонной N на плоскость P.

Доказательство:

1. Предположим, что прямая l перпендикулярна к наклонной N. Это означает, что угол между прямой l и наклонной N равен 90 градусам.

2. Рассмотрим ортогональную проекцию наклонной N на плоскость P. Ортогональная проекция - это перпендикуляр, опущенный из точки на наклонной N на плоскость P. Обозначим эту проекцию как N'.

3. Поскольку прямая l перпендикулярна к наклонной N, она также перпендикулярна к ортогональной проекции N' на плоскость P. Это следует из свойств перпендикулярности.

4. Обратно, предположим, что прямая l перпендикулярна к ортогональной проекции N' на плоскость P. Это означает, что угол между прямой l и ортогональной проекцией N' равен 90 градусам.

5. Рассмотрим наклонную N, которая пересекает плоскость P. Поскольку прямая l перпендикулярна к ортогональной проекции N' на плоскость P, она также перпендикулярна к наклонной N. Это следует из свойств перпендикулярности.

Таким образом, мы доказали, что прямая l, лежащая в плоскости P, перпендикулярна к наклонной N тогда и только тогда, когда она перпендикулярна к ортогональной проекции наклонной N на плоскость P.

Рисунок:


Примечание: Данный ответ основан на логическом рассуждении и не содержит прямых цитат из источников.