Question

Даны вершины пирамиды АВСD: А(1, 0, 3), В(0, 2, 5), С(-1, 3, 2), D(5, 0, 2). Найти: а) уравнение грани АВС, б) уравнение прямой АВ, в) уравнение высоты DН, г) уравнение плоскости, проходящей через точку С параллельно грани АВD, д) вычислить косинус угла между прямыми АВ и ВD, е) вычислить длину высоты DН.

Answer 1

Решение на рисунках.

Answer 2

а) Уравнение грани АВС:

Для того чтобы найти уравнение грани АВС пирамиды, мы можем использовать метод векторного произведения. Векторное произведение двух векторов, проведённых от одной общей точки к двум другим точкам на плоскости, даст нам нормальный вектор этой плоскости. Зная нормальный вектор и координаты одной из точек на плоскости, мы можем записать уравнение плоскости.

Давайте проделаем это для грани АВС. Векторы AB и AC находятся следующим образом:

AB = B - A = (0, 2, 5) - (1, 0, 3) = (-1, 2, 2) AC = C - A = (-1, 3, 2) - (1, 0, 3) = (-2, 3, -1)

Теперь мы можем найти нормальный вектор плоскости грани АВС, используя векторное произведение AB и AC. Для этого мы можем применить следующую формулу:

N = AB x AC, где x - оператор векторного произведения.

N = (-1, 2, 2) x (-2, 3, -1)

Для вычисления векторного произведения, мы можем использовать следующую формулу:

N = (y1z2 - y2z1, z1x2 - z2x1, x1y2 - x2y1)

N = ((2 * -1) - (3 * 2), (3 * -2) - (-1 * -1), (-1 * 2) - (-2 * 0))

N = (-8, -5, 2)

Теперь, имея нормальный вектор плоскости грани АВС и зная координаты одной из точек на плоскости (например, точку А), мы можем записать уравнение плоскости следующим образом:

-8x - 5y + 2z + D = 0

Для определения значения D, мы можем использовать координаты точки А:

-8 * 1 - 5 * 0 + 2 * 3 + D = 0

-8 + 6 + D = 0

D = 2

Таким образом, уравнение грани АВС пирамиды имеет вид:

-8x - 5y + 2z + 2 = 0

б) Уравнение прямой АВ:

Для того чтобы найти уравнение прямой АВ, мы можем использовать формулу, основанную на координатах двух точек А и В. Уравнение прямой может быть записано в следующем виде:

(x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1) = (z - z1) / (z2 - z1)

Заметим, что x1 = 1, y1 = 0, z1 = 3 и x2 = 0, y2 = 2, z2 = 5.

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу:

(x - 1) / (0 - 1) = (y - 0) / (2 - 0) = (z - 3) / (5 - 3)

(x - 1) / -1 = y / 2 = (z - 3) / 2

Отсюда мы можем получить уравнение прямой АВ:

x - 1 = -y / 2 = (z - 3) / 2

в) Уравнение высоты DN:

Чтобы найти уравнение высоты DN, проведённой из вершины D и перпендикулярной грани АВС, мы можем использовать нормальный вектор плоскости грани АВС.

Мы уже нашли нормальный вектор грани АВС в предыдущем пункте, и он равен (-8, -5, 2).

Теперь, используя координаты точки D, которая равна (5, 0, 2), мы можем записать уравнение прямой, проходящей через точку D и параллельной грани АВС, следующим образом:

-8(x - 5) - 5(y - 0) + 2(z - 2) = 0

-8x + 40 - 5y + 2z - 4 = 0

-8x - 5y + 2z + 36 = 0

Таким образом, уравнение высоты DN имеет вид:

-8x - 5y + 2z + 36 = 0

г) Уравнение плоскости, проходящей через точку С и параллельной грани АВD:

Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку С и параллельной грани АВD, мы можем использовать нормальный вектор грани АВD. Нормальный вектор грани АВD будет параллелен векторному произведению векторов AB и AD.

AB = (-1, 2, 2)

AD = (5, 0, 2) - (1, 0, 3) = (4, 0, -1)

N = AB x AD

N = (-1, 2, 2) x (4, 0, -1)

Вычислим векторное произведение:

N = (2 * -1 - 0 * 2, 2 * 4 - 2 * -1, -1 * 0 - 4 * 2)

N = (-2, 10, -8)

Теперь, имея нормальный вектор грани АВD и зная координаты точки С, которая равна (-1, 3, 2), мы можем записать уравнение плоскости следующим образом:

-2x + 10y - 8z + D = 0

Для определения значения D, мы можем использовать координаты точки С:

-2 * -1 + 10 * 3 - 8 * 2 + D = 0

2 + 30 - 16 + D = 0

D = -16

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку С и параллельной грани АВD, имеет вид:

-2x + 10y - 8z - 16 = 0

д) Косинус угла между прямыми АВ и ВD:

Чтобы вычислить косинус угла между прямыми АВ и ВD, мы можем использовать формулу:

cos(θ) = (AB · BD) / (|AB| * |BD|)

где AB и BD - векторы, направленные вдоль прямых АВ и ВD соответственно, и · обозначает скалярное произведение векторов.

AB = (-1, 2, 2)

BD = (5, 0, 2) - (0, 2, 5) = (5, -2, -3)

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение AB · BD и длины векторов AB и BD:

AB · BD = (-1 * 5) + (2 * -2) + (2 * -3)

|AB| = √((-1)^2 + 2^2 + 2^2)

|BD| = √(5^2 + (-2)^2 + (-3)^2)

Подставим значения в формулу для косинуса уг