Question

ПОМОГИТЕ С РЕШЕНИЕМ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНАЦИОННЫМ БИЛЕТАМ ПО ГЕОМЕТРИИ 8КЛАСС биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Докажите, что окружность диаметром AB проходит через К.

Answer 1

Параллелограмм АВСД. Проведем биссектрису угла А, она пересечет сторону ВС в точке Н (<BAН=<ДAН). Вторая биссектриса ула В перескает сторону АД в точке М (<АВМ=<СВМ).
У параллелограмма углы, прилежащие к любой стороне, в сумме равны 180° (<А+<В=180).
Значит половины этих углов <ВАН+<АВМ=90°
Тогда в ΔАВК <АКВ=180-(<ВАК+<АВК)=180-90=90°.
Проведем окружность диаметром АВ. 
Если вписанный угол опирается на диаметр этой окружности, значит он -прямой.
У нас <АКВ=90°, значит он опирается на диаметр и является вписанным углом в эту окружность. Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, значит К лежит на окружности, что и требовалось доказать

Answer 2

Для начала, давайте определим, что такое биссектриса угла. Биссектриса угла делит его на два равных угла.

В нашем случае, у нас есть параллелограмм ABCD, и биссектрисы углов A и B пересекаются в точке K. Мы должны доказать, что окружность с диаметром AB проходит через точку K.

Для доказательства этого факта, мы можем использовать следующую логику:

1. Поскольку угол A делится биссектрисой на два равных угла, то угол AKC равен углу AKD.

2. Также, поскольку угол B делится биссектрисой на два равных угла, то угол BKC равен углу BKC.

3. Из пункта 1 мы знаем, что угол AKC равен углу AKD. А из пункта 2 мы знаем, что угол BKC равен углу BKC.

4. Следовательно, угол AKD равен углу BKC.

5. Угол AKD и угол BKC - это вертикальные углы, и вертикальные углы равны.

6. Из пункта 5 следует, что угол AKD равен углу BKC, а значит, угол BKC равен углу AKD.

7. Если угол BKC равен углу AKD, то это значит, что точка K лежит на окружности, описанной около треугольника ABD.

8. Но поскольку AB является диаметром этой окружности, то точка K также лежит на этой окружности.

Таким образом, мы доказали, что окружность с диаметром AB проходит через точку K.