Question

Точка К - середина ребра В1С1 куба АВСDА1В1С1D1. Разложите вектор AK по векторам a=AB, b=AD, c=AA1 и найдите длину этого вектора, если ребро куба равно m.

Answer 1

На картинке синим показаны три базисных вектора
красным - АК

Answer 2

Дано: - Куб ABCD A1B1C1D1, где AB = BC = CD = DA = A1B1 = B1C1 = C1D1 = D1A1 = m (длина ребра куба). - Вектор AK.

Мы должны разложить вектор AK на векторы a = AB, b = AD и c = AA1, а также найти длину этого вектора.

Разложение вектора AK:

Чтобы разложить вектор AK на векторы a, b и c, мы можем использовать метод параллелограмма.

1. Разложение на векторы a и c: Вектор a = AB направлен от точки A к точке B, а вектор c = AA1 направлен от точки A к точке A1. Поэтому, чтобы разложить вектор AK на векторы a и c, мы должны найти проекции вектора AK на векторы a и c.

Для начала, найдем проекцию вектора AK на вектор a. Обозначим ее как proj(a, AK). Для этого мы можем использовать формулу:

proj(a, AK) = (AK · a) / (a · a) * a

где · обозначает скалярное произведение векторов.

Аналогично, чтобы найти проекцию вектора AK на вектор c, обозначим ее как proj(c, AK), мы можем использовать формулу:

proj(c, AK) = (AK · c) / (c · c) * c

2. Разложение на вектор b: Вектор b = AD направлен от точки A к точке D. Чтобы разложить вектор AK на вектор b, мы должны найти проекцию вектора AK на вектор b. Обозначим ее как proj(b, AK).

Аналогично, мы можем использовать формулу:

proj(b, AK) = (AK · b) / (b · b) * b

3. Вычисление разложения: Теперь, когда у нас есть проекции вектора AK на векторы a, b и c, мы можем найти разложение вектора AK:

AK = proj(a, AK) + proj(b, AK) + proj(c, AK)

Нахождение длины вектора AK:

Чтобы найти длину вектора AK, мы можем использовать формулу для вычисления длины вектора:

|AK| = sqrt(AK · AK)

где sqrt обозначает операцию извлечения квадратного корня.

Теперь у нас есть все необходимые формулы, чтобы решить задачу. Давайте посмотрим на примере.

Пример: Пусть m = 5 (длина ребра куба) и точка K имеет координаты (3, 4, 2).

1. Разложение вектора AK на векторы a и c: Для начала, найдем проекцию вектора AK на вектор a. Для этого мы должны вычислить скалярное произведение AK и a, а также скалярное произведение a и a:

AK · a = (3, 4, 2) · (5, 0, 0) = 3 * 5 + 4 * 0 + 2 * 0 = 15

a · a = (5, 0, 0) · (5, 0, 0) = 5 * 5 + 0 * 0 + 0 * 0 = 25

Теперь мы можем вычислить проекцию вектора AK на вектор a:

proj(a, AK) = (AK · a) / (a · a) * a = 15 / 25 * (5, 0, 0) = (3, 0, 0)

Аналогично, чтобы найти проекцию вектора AK на вектор c, мы должны вычислить скалярное произведение AK и c, а также скалярное произведение c и c:

AK · c = (3, 4, 2) · (0, -5, 0) = 3 * 0 + 4 * -5 + 2 * 0 = -20

c · c = (0, -5, 0) · (0, -5, 0) = 0 * 0 + -5 * -5 + 0 * 0 = 25

Теперь мы можем вычислить проекцию вектора AK на вектор c:

proj(c, AK) = (AK · c) / (c · c) * c = -20 / 25 * (0, -5, 0) = (0, 4, 0)

2. Разложение вектора AK на вектор b: Чтобы найти проекцию вектора AK на вектор b, мы должны вычислить скалярное произведение AK и b, а также скалярное произведение b и b:

AK · b = (3, 4, 2) · (0, 0, 5) = 3 * 0 + 4 * 0 + 2 * 5 = 10

b · b = (0, 0, 5) · (0, 0, 5) = 0 * 0 + 0 * 0 + 5 * 5 = 25

Теперь мы можем вычислить проекцию вектора AK на вектор b:

proj(b, AK) = (AK · b) / (b · b) * b = 10 / 25 * (0, 0, 5) = (0, 0, 2)

3. Вычисление разложения: Теперь, когда у нас есть проекции вектора AK на векторы a, b и c, мы можем найти разложение вектора AK:

AK = proj(a, AK) + proj(b, AK) + proj(c, AK) = (3, 0, 0) + (0, 0, 2) + (0, 4, 0) = (3, 4, 2)

Нахождение длины вектора AK:

Чтобы найти длину вектора AK, мы можем использовать формулу для вычисления длины вектора:

|AK| = sqrt(AK · AK) = sqrt((3, 4, 2) · (3, 4, 2)) = sqrt(3 * 3 + 4 * 4 + 2 * 2) = sqrt(9 + 16 + 4) = sqrt(29)

Поэтому, в данном случае, длина вектора AK равна sqrt(29).

Если у вас есть другие значения для длины ребра куба или координат точки K, вы можете использовать те же самые формулы, чтобы найти разложение вектора AK и его длину.