Question

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса BD. Докажите что точка М ,взятая на этой биссектрисе, равноудалена от вершин А и С.

Answer 1

Дано:ΔABC;AB=BC;BD-биссектриса;<ABD=<CBD;
доказать:AM=MC.
Полученные треугольники ΔABM иΔCBM равны(по двум сторонам и углу между ними):AB=BC-по условию;
<ABM=<CBM-по условию
BM-общая сторона.⇒отсюда AM=CM

Answer 2

Для доказательства этого утверждения давайте воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и биссектрисы.

Свойства равнобедренного треугольника:

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании является медианой и высотой, а также делит угол при вершине на два равных угла.

Доказательство:

Пусть треугольник ABC - равнобедренный с основанием AC и биссектрисой BD. Точка M - точка пересечения биссектрисы BD с основанием AC.

1. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то AM = CM. 2. Так как точка M лежит на биссектрисе BD, то BM является биссектрисой угла ABC, следовательно, угол ABM = угол CBM.

# Докажем, что угол AMB = угол CMB:

- Так как AM = CM, угол ABM = угол CBM (из свойства биссектрисы). - Таким образом, угол AMB = угол CMB, так как угол ABM = угол CBM.

3. Поскольку AM = CM и угол AMB = угол CMB, то треугольники ABM и CBM равны, и следовательно, BM - их общая сторона.

Таким образом, мы доказали, что точка M, взятая на биссектрисе BD, равноудалена от вершин A и C в равнобедренном треугольнике ABC.