Question

В треугольник с периметром, равным 84, вписана окружность. Одна из точек касания делит сторону треугольника на отрезки с длинами 12 и 14. Найдите площадь треугольника.

Answer 1

отрезки касательных, проведённых из одной точки равны между собой, поэтому стороны треугольника разделятся точками касания на отрезки длиной 12 и х, 14 и х. 

периметр это сумма длин всех сторон, значит 12+х+14+х+14+12=84, 2х+52=84, х+26=42, х=16. Тогда стороны треугольника равны 14+12=26, 14+16=30, 12+16=28

найдём площадь треугольника по формуле Герона. полупериметр р=84:2=42,

S= корень из p(p-a)(p-b)(p-c)= корень из42*(42-26)(42-30)(42-28)= корень из42*16*12*14=14*4*3*2=168

 

 

 

 

Answer 2

Решение:

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами вписанной окружности в треугольник.

1. Пусть точки касания окружности с сторонами треугольника обозначены как \(A\), \(B\), и \(C\), где \(A\) - точка касания с отрезком длиной 12, \(B\) - точка касания с отрезком длиной 14, и \(C\) - точка касания с отрезком длиной \(x\).

2. Обозначим длины сторон треугольника как \(a\), \(b\), и \(c\), и радиус вписанной окружности как \(r\).

3. Так как радиус окружности проходит через точку касания, он будет перпендикулярен соответствующей стороне треугольника. Поэтому, мы можем использовать свойство треугольника, чтобы выразить длины сторон через радиус вписанной окружности и отрезки, на которые сторона треугольника делится точкой касания.

4. Используем формулу для вычисления площади треугольника через полупериметр \(p\), радиус вписанной окружности \(r\), и длины сторон треугольника:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

5. Также, используя формулу для вычисления полупериметра треугольника \(p = \frac{a + b + c}{2}\), мы можем выразить длины сторон через отрезки, на которые сторона треугольника делится точкой касания:

\[a = 2r + 12\] \[b = 2r + 14\] \[c = 2r + x\]

6. Теперь, мы можем выразить \(r\) через \(x\) и подставить в формулу для площади треугольника:

\[r = \frac{1}{2}(12 + 14 - 2r)\] \[r = 13 - r\] \[2r = 13\]

7. Подставляем \(2r = 13\) в выражения для \(a\), \(b\), и \(c\):

\[a = 13 + 12 = 25\] \[b = 13 + 14 = 27\] \[c = 13 + x\]

8. Теперь, выражаем полупериметр \(p\) через \(x\):

\[p = \frac{25 + 27 + (13 + x)}{2} = \frac{65 + x}{2}\]

9. Подставляем выражения для \(a\), \(b\), \(c\) и \(p\) в формулу для площади треугольника:

\[S = \sqrt{\frac{65 + x}{2} \cdot \frac{27 - (13 + x)}{2} \cdot \frac{13 + x - 25}{2} \cdot \frac{13 + x - 27}{2}}\] \[S = \sqrt{\frac{65 + x}{2} \cdot \frac{14 - x}{2} \cdot \frac{x - 12}{2} \cdot \frac{x - 14}{2}}\] \[S = \sqrt{\frac{(65 + x)(x - 12)(x - 14)(14 - x)}{16}}\]

10. Теперь, мы можем найти значение \(x\) и, используя его, вычислить площадь треугольника.