Question

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны. Их длины относятся как 1:2:4. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее основание имеет площадь 96 см2

Answer 1

Использовано: теорема Пифагора, формула площади треугольника через синус угла, теорема косинусов,  формула, выражающая синус через косинус,  вычисление площади боковой поверхности пирамиды через сумму площадей боковых граней

Answer 2

Для решения задачи нам необходимо найти длину каждого из боковых ребер пирамиды.

Пусть x - длина самого короткого бокового ребра. Тогда длины остальных двух боковых ребер будут равны 2x и 4x соответственно, так как они относятся к первому ребру как 1:2:4.

Таким образом, сумма длин всех трех боковых ребер равна x + 2x + 4x = 7x.

Так как боковые ребра пирамиды взаимно перпендикулярны, то они образуют прямоугольный треугольник. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле S = (a * b) / 2, где a и b - длины катетов треугольника.

В нашем случае одним из катетов является самое короткое боковое ребро длины x, а вторым катетом будет одно из двух оставшихся боковых ребер длины 2x или 4x (выбор катета не имеет значения, так как площадь прямоугольного треугольника не зависит от порядка катетов).

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна S = (x * 2x) / 2 = x^2.

Из условия задачи известно, что площадь основания пирамиды равна 96 см^2, поэтому мы можем записать уравнение:

96 + x^2 = площадь боковой поверхности пирамиды.

Теперь нам необходимо найти значение x. Для этого мы можем воспользоваться формулой площади прямоугольника, так как основание пирамиды является прямоугольником.

Пусть a и b - стороны основания пирамиды. Тогда площадь основания равна S = a * b.

Из условия задачи известно, что площадь основания пирамиды равна 96 см^2, поэтому мы можем записать уравнение:

a * b = 96.

Так как стороны основания пирамиды взаимно перпендикулярны, то a и b являются катетами прямоугольного треугольника. Из этого следует, что a^2 + b^2 = x^2.

Теперь мы можем решить систему уравнений:

a * b = 96, a^2 + b^2 = x^2.

Из первого уравнения получаем, что b = 96 / a.

Подставляем это значение во второе уравнение:

a^2 + (96 / a)^2 = x^2.

Решаем полученное уравнение относительно x^2:

a^4 + 96^2 = a^2 * x^2.

Выносим a^2 за скобки:

a^4 + 96^2 = (a * x)^2.

Таким образом, получаем квадратное уравнение относительно (a * x):

(a * x)^2 - a^4 - 96^2 = 0.

Решаем это уравнение и находим значение (a * x). После этого находим значение x и подставляем его в уравнение 96 + x^2 = площадь боковой поверхности пирамиды. Таким образом, мы найдем площадь боковой поверхности пирамиды.