Question

Хорды AB и CD некоторой окружности пересекаются под в точке M под прямым углом. Оказалось, что AM = 4 см, BM = 9 см. Треугольники AMC и BMC подобны. Найдите длину CD.

Answer 1

Треугольники AMC и BMC подобны. В подобных треугольниках углы попарно равны.  ∠АМС=∠ВМС - по условию.  ∠ВСМ≠∠АСМ в противном случае дуга АД  была бы равной дуге АД,  что в свою  очередь  ведет  к равенству дуг СВД и  САД.  Из этого получим,  что  СД - диаметр окружности,  перпендикулярный хорде.  Тогда получим,  что АМ=МВ,  что противоречит условию задачи.
  Значит ∠ВСМ=∠САМ.  Составим отношение сходственных сторон в подобных  треугольниках. АС/СВ=СМ/МВ=АМ/СМ.  В два последних  отношения подставим известные  данные,  получим  СМ/9=4/СМ,  СМ²=36,  СМ=6
  Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.  АМ*МВ=СМ*МВ

4*9=6*х,      х=6
  СД=СМ+МД=6+6=12(см)

Answer 2

Дано: AB и CD - хорды окружности, пересекающиеся под прямым углом в точке M. AM = 4 см, BM = 9 см.

Требуется найти длину CD.

Решение: Поскольку треугольники AMC и BMC подобны, то отношение длин их сторон должно быть одинаковым.

Пусть x - длина AM, y - длина BM, z - длина CD.

Имеем следующее соотношение сторон: AM/AC = BM/BC

Подставляем известные значения: 4/(4+z) = 9/(9+z)

Раскрываем скобки и упрощаем выражение: 4*(9+z) = 9*(4+z) 36 + 4z = 36 + 9z

Переносим все переменные с z на одну сторону уравнения: 9z - 4z = 36 - 36 5z = 0

Получаем, что z = 0.

Таким образом, длина CD равна 0 см.

Ответ: длина CD равна 0 см.