Question

Докажите что равнобедренную трапецию можно вписать в окружность

Answer 1

центр этой окружности лежит на пересечении 2 прямых.

1. перпендикуляр к основанию (любому), через его середину.

2. то же к любой боковой стороне. 

Эта точка равноудалена от 3 вершин трапеции (просто по построению, тут и нечего доказывать), и надо показать, что и четвертая вершина трапеции равноудалена от этой точки. Но это сразу следует из того, прямая, перпендикулярная одному из оснований и проходящая через его середину, то же самое делает и со вторым - она ему перпендикулярна и проходит через его середину (здесь-то и используется равнобедренность, в неравнобедренной трапеции второе основние не разделится перпендикуляром пополам). Следовательно, точки этой прямой равноудалены от концов второго основания. 

Это всё.

 

Answer 2

Для доказательства того, что равнобедренную трапецию можно вписать в окружность, воспользуемся следующими шагами:

1. Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, где AB и CD - параллельные основания, а BC и AD - боковые стороны.

2. Проведем диагонали AC и BD, которые пересекутся в точке O.

3. Обозначим через M и N середины сторон BC и AD соответственно.

4. Так как ABCD - равнобедренная трапеция, то BM = MC и AN = ND.

5. Рассмотрим треугольники AOM и BON. Так как OM и ON - радиусы окружности, то они равны между собой. Кроме того, у этих треугольников AO = BO, так как они являются диагоналями равнобедренной трапеции.

6. По свойству равнобедренного треугольника у треугольников AOM и BON углы OAM и OBN равны между собой.

7. Таким образом, треугольники AOM и BON являются подобными, так как у них два угла равны между собой.

8. Из подобия треугольников следует, что углы AMO и BNO также равны между собой.

9. Таким образом, мы получили, что углы AMO и BNO равны между собой, а значит, треугольники AMO и BNO равнобедренные.

10. По свойству равнобедренных треугольников диагонали AM и BN являются биссектрисами углов AOB и BOD соответственно.

11. Так как AM и BN пересекаются в точке O, то эта точка является центром окружности, вписанной в трапецию ABCD.

Таким образом, мы доказали, что равнобедренную трапецию можно вписать в окружность, и ее диагонали будут являться биссектрисами углов между основаниями.