Question

1. Докажите, что в равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности. 2. Площадь равностороннего треугольника равна 48. Найти радиус описанной около этого треугольника окружности.

Answer 1

1. Используя формулы из тригонометрии находим.
a - сторона равност. треуг.
радиус описанной окружности: a=2*Rоп*cos(30) => Rоп = a/3^0.5
радиус вписанной окружности: Rвп=a*(1/2)*tg(30) => Rвп = a/(2*3^0.5)
Rоп/Rвп = (a/3^0.5)/(a/(2*3^0.5)) = 2
2. S = a*0.5*tg(60)*a*0.5 = a^2 * 3^0.5 * 0.25 =  48
a*0.5*tg(60) - высота треуг.
*a*0.5 - половина основания треуг.

S = a^2 * 3^0.5 * 0.25 => a = (S/(3^0.5 * 0.25) )^0.5
=> Rоп = (S/(3^0.5 * 0.25 * 3))^0.5 = (48 * 0.769)^0.5 = 6.078 ~= 6

Answer 2

1. Доказательство, что радиус описанной окружности в равностороннем треугольнике в 2 раза больше радиуса вписанной окружности:

Пусть ABC - равносторонний треугольник с стороной a. Рассмотрим вписанную окружность данного треугольника. Пусть радиус вписанной окружности равен r.

Для равностороннего треугольника известно, что все его углы равны 60 градусам. Также известно, что радиус вписанной окружности равен половине стороны треугольника, т.е. r = a/2.

Чтобы доказать, что радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности, нам нужно найти радиус описанной окружности и показать, что он равен 2r.

Рассмотрим описанную окружность треугольника ABC. Она проходит через все вершины треугольника и имеет центр O. Радиус описанной окружности равен расстоянию от центра O до любой вершины треугольника.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник AOB, где O - центр описанной окружности, A и B - вершины треугольника.

2. Радиус описанной окружности равен расстоянию от центра O до любой вершины треугольника. Обозначим этот радиус как R.

3. Рассмотрим треугольник AOC. Так как треугольник ABC равносторонний, то угол AOC также равен 60 градусам.

4. Рассмотрим треугольник AOC. Он является равнобедренным, так как AO = CO (радиус описанной окружности) и угол AOC равен 60 градусам.

5. Из свойств равнобедренного треугольника следует, что угол ACO равен 60 градусам.

6. Таким образом, у треугольника AOC все углы равны 60 градусам, что означает, что треугольник AOC также является равносторонним.

7. Равносторонний треугольник AOC имеет все стороны равными. Обозначим длину стороны равностороннего треугольника как b.

8. Так как треугольник AOC является равносторонним, то все его углы равны 60 градусам. Следовательно, у треугольника AOC все стороны равными, и AO = CO = b.

9. Вписанная окружность треугольника ABC касается всех его сторон. Так как радиус вписанной окружности равен половине стороны треугольника, то r = a/2 = b/2.

10. Отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной окружности можно записать как R/r = AO/CO = b/(b/2) = 2.

11. Таким образом, радиус описанной окружности в равностороннем треугольнике в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

2. Нахождение радиуса описанной окружности для треугольника со стороной 48:

Дано, что площадь равностороннего треугольника равна 48. Для равностороннего треугольника площадь можно вычислить по формуле:

S = (sqrt(3) * a^2) / 4,

где S - площадь, a - сторона треугольника.

Зная, что площадь равна 48, мы можем решить уравнение для нахождения стороны a:

48 = (sqrt(3) * a^2) / 4.

Умножим обе части уравнения на 4 и поделим на sqrt(3):

192 / sqrt(3) = a^2.

Извлекая квадратный корень из обеих сторон, получаем:

a = sqrt(192 / sqrt(3)).

Теперь, когда мы знаем сторону a, мы можем найти радиус описанной окружности, используя формулу:

R = a / (2 * sqrt(3)).

Подставив значение стороны a, мы получим:

R = sqrt(192 / sqrt(3)) / (2 * sqrt(3)).

Итак, радиус описанной около треугольника окружности будет sqrt(192 / sqrt(3)) / (2 * sqrt(3)).