Question

Высота в ромбе равна 2. Найдите площадь круга, вписанного в ромб, если угол ромба равен 30 градусов.

Answer 1

Пусть ABCD - ромб, с высотой BM=2. Из (центра робма) точки пересечения диагоналей проведем перпендикуляр на стороны AB и CD. Полученный отрезок KL равен диагонали окружности вписанной в ромб, а также высоте нашего ромба. 

Тогда радиус окружности вписанной в ромб найдется: 

r=h/2 
r=2/2=1 

А площадь круга можно найти по формуле: 

S=πR² 
S=π

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится найти длину стороны ромба, чтобы вычислить радиус вписанного круга.

Нахождение стороны ромба

Учитывая, что высота ромба равна 2, мы можем воспользоваться формулой площади ромба: S = (d1 * d2) / 2, где d1 и d2 - диагонали ромба. В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам, поэтому d1 = 2 * сторона ромба, а d2 = 2 * высота ромба. Используя данную информацию, мы можем подставить известные значения в формулу площади ромба и решить уравнение:

2 = (2 * сторона ромба * 2 * высота ромба) / 2, 2 = сторона ромба * 2, сторона ромба = 1.

Нахождение радиуса вписанного круга

Теперь, когда мы знаем длину стороны ромба, мы можем найти радиус вписанного круга. Во-первых, диагонали ромба являются диаметрами вписанного круга. Во-вторых, в ромбе противоположные углы равны, а сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Таким образом, один угол ромба равен 30 градусам, а противоположный угол равен 180 - 30 = 150 градусов. Этот угол можно разделить на два прямых угла, каждый из которых будет равен 150 / 2 = 75 градусам.

Теперь мы можем применить тригонометрические соотношения для нахождения радиуса вписанного круга. Радиус вписанного круга связан с длиной стороны ромба и тангенсом половинного угла ромба следующим образом:

r = (a / 2) * tan(π / 4), где r - радиус вписанного круга, a - длина стороны ромба.

Подставляя известные значения, получаем:

r = (1 / 2) * tan(π / 4).

Расчет площади вписанного круга

Теперь, когда у нас есть радиус вписанного круга, мы можем вычислить его площадь по формуле:

S = π * r^2, где S - площадь круга, r - радиус.

Подставляя значение радиуса, получаем:

S = π * [(1 / 2) * tan(π / 4)]^2.

Вычисляя данное выражение, получаем площадь круга, вписанного в ромб.