Question

Точки E и F- середины сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Отрезки AE и AF пересекают диагональ BD в точках P и Q. Найти отношение площади четырехугольника EFQP к площади параллелограмма ABCD.

Answer 1

Треугольники $BPE;APD$ подобны , как и $FDQ;BQA$     . 
$>  <img src=$ 
Проведем отрезок $EF$ 
$EF ||BD||PQ$  .  $EF$ средняя линия треугольника $BCD$ 
$\frac{AP}{AE}=\frac{2}{3}\\ \frac{AQ}{AF}=\frac{2}{3}$    
$\frac{PQ}{EF}=\frac{2}{3}\\\\ \frac{EF}{BD} = \frac{1}{2}\\\\ \frac{PQ}{BD} = \frac{1}{3}\\\\ S_{ABCD}*0.5=S_{ABD} \\\\ S_{ABD}=\frac{BD*h}{2}\\ S_{APQ} = \frac{\frac{BD}{3}*h}{2}\\ S_{APQ} = \frac{S_{ABCD}}{6}\\\\ AP=2x\\ PE=x\\ QF=y\\ AQ=2y\\\\ S_{APQ} =\frac{4xy}{2}*sinc = \frac{ab*sina}{6}\\ S_{AEF} = \frac{9xy}{2}*sinc = \frac{3absina}{8} = \frac{3}{8}*S_{ABCD}\\ S_{PEQF} = \frac{3}{8} S_{ABCD} - \frac{S_{ABCD}}{6} = \frac{5}{24} S_{ABCD}$ 
Ответ $\frac{5}{24}$
  

Answer 2

Для начала, давайте разберем геометрическую конфигурацию, описанную в вопросе.

Геометрическая конфигурация:

Пусть ABCD - параллелограмм, E и F - середины сторон BC и CD соответственно. Отрезки AE и AF пересекают диагональ BD в точках P и Q.

Решение:

Чтобы найти отношение площади четырехугольника EFQP к площади параллелограмма ABCD, нам нужно выразить площади обоих фигур через известные отношения сторон и углов.

1. Площадь параллелограмма ABCD: Площадь параллелограмма можно выразить как произведение длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону. Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна произведению длины его любой стороны (например, AB) на высоту, опущенную на эту сторону.

2. Площадь четырехугольника EFQP: Площадь четырехугольника EFQP можно найти, используя формулу площади трапеции, так как EF параллельно PQ и равна им наполовину. Таким образом, площадь четырехугольника EFQP равна сумме площадей треугольников EPQ и EFQ.

3. Нахождение отношения площадей: После нахождения площадей параллелограмма ABCD и четырехугольника EFQP, мы можем вычислить их отношение, поделив площадь четырехугольника EFQP на площадь параллелограмма ABCD.

Рассмотрение формул и вычисление отношения площадей:

Давайте рассмотрим формулы для вычисления площадей и найдем отношение площадей четырехугольника EFQP к площади параллелограмма ABCD.