Question

Площадь кольца, образованного окружностью, описанной около правильного шестиугольника, и окружностью, вписанной в него, равна пи. Найдите сторону шестиугольника.

Answer 1

Sкольца = Sоп - Sвп
π = πR² - πr² = π(R² - r²)
1 = R² - r²
По формуле a = 2Rsin(180°/n) и r = Rcos(180°/n) найдём R и r.
R = a/2sin(180°/n) = a/2sin30° = a.
r = a•cos30° = a√3/2.
a² - (a√3/2)² = 1
a² - 3a²/4 = 1
a²/4 = 1
a² = 4
a = 2.
Ответ: а = 2.

Answer 2

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся формулами, связанными с площадью кольца, описанного около правильного шестиугольника, и вписанного в него.

1. Площадь кольца, образованного окружностью, описанной вокруг правильного шестиугольника, равна разности площадей двух окружностей: \(\pi R^2 - \pi r^2\), где \(R\) - радиус описанной окружности, \(r\) - радиус вписанной окружности.

2. Площадь правильного шестиугольника можно выразить через его сторону \(a\) по формуле: \(S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\).

Исходя из условия задачи, площадь кольца равна \(\pi\), следовательно, можно составить уравнение:

\(\pi R^2 - \pi r^2 = \pi\)

Также известно, что радиус описанной окружности \(R\) связан с радиусом вписанной окружности \(r\) следующим образом: \(R = 2r\).

Используя эти данные, мы можем найти сторону \(a\) правильного шестиугольника.

Подставим \(R = 2r\) в уравнение \(\pi R^2 - \pi r^2 = \pi\) и найдем \(r\). Затем, найдем сторону \(a\) шестиугольника с помощью формулы \(S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\).

Давайте начнем с решения этого уравнения.