Question

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC точка О - точка пересечения диагоналей. BO:OD=3:4. Найдите отношение площадей треугольников ABD и ABC.

Answer 1

Высоты hтреугольников АВС и АВD равны высоте трапеции.
S ABC=h*BC
S ABD=h*AD
S ABC:S ABD= BC:AD
Треугольники ВОС и АОD подобны по свойству диагоналей трапеции ( в них равны все углы: 2 по свойствую параллельных прямых, третий - вертикальный )
ВС:АD=3:4
S ABC:S ABD=3:4

Answer 2

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства трапеции и отношение длин отрезков.

Свойства трапеции:

1. Диагонали трапеции делятся точкой их пересечения пополам. То есть, точка пересечения диагоналей О делит каждую из диагоналей на две равные части: BO = OD и AO = OC.

Отношение длин отрезков:

2. Если отрезок разделен точкой внутри него на две части, то отношение длин этих частей равно отношению длин отрезков. Например, если BO разделен точкой О на две части, то BO:OD = BO/OD.

Решение задачи:

По условию, BO:OD = 3:4. Пусть BO = 3x и OD = 4x, где x - некоторая постоянная.

Так как точка О делит диагонали пополам, то AO = OC. Обозначим AO = OC = y.

По свойству трапеции, AO + OC = AD + BC. Так как AD и BC - основания трапеции, то AD = BC. Значит, 2y = AD + BC = AD + AD = 2AD.

Из этого следует, что y = AD.

Теперь мы можем найти площадь треугольника ABD и треугольника ABC.

Площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту. Так как высота треугольника - это расстояние от вершины до основания, то высота треугольника ABD равна y, а треугольника ABC равна 2y.

Пусть S1 - площадь треугольника ABD, а S2 - площадь треугольника ABC.

Тогда S1 = (AD * y) / 2 и S2 = (AD * 2y) / 2.

Подставим y = AD и получим S1 = (AD * AD) / 2 и S2 = AD * AD.

Отношение площадей треугольников S1 и S2 равно S1/S2 = ((AD * AD) / 2) / (AD * AD) = 1/2.

Ответ: Отношение площадей треугольников ABD и ABC равно 1/2.