Question

Докажите, что для любого выпуклого четырехугольника сумма диагоналей меньше, чем периметр

Answer 1

Пусть АВСD - выпуклый четырехугольник, так как он выпуклый.

Тогда по неравенству треугольника ABD, CBD, ABC,DAC имеем:

$AB+AD>BD;\\\\BC+CD>BD;\\\\AB+BC>AC;\\\\AD+CD>AC;$

 

сложив получим

$2*(AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD)$

 

или

 

$AB+BC+CD+AD>AC+BD$

 

т.е., то что требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства того, что для любого выпуклого четырехугольника сумма диагоналей меньше, чем периметр, рассмотрим следующее:

Определение выпуклого четырехугольника

Выпуклый четырехугольник - это четырехугольник, у которого все углы меньше 180 градусов и все его внутренние углы направлены внутрь фигуры.

Доказательство

Предположим, что у нас есть выпуклый четырехугольник ABCD. Мы хотим доказать, что сумма диагоналей меньше, чем периметр.

Для начала, рассмотрим диагонали AC и BD. Они пересекаются в точке O. Обозначим длины диагоналей AC и BD как d1 и d2 соответственно, а периметр четырехугольника ABCD обозначим как P.

Теперь рассмотрим треугольники AOB и COD. По неравенству треугольника, сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Применяя это неравенство к треугольникам AOB и COD, получаем:

AO + OB > AB, CO + OD > CD.

Также, по неравенству треугольника, сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Применяя это неравенство к треугольникам AOC и BOD, получаем:

AO + CO > AC, BO + OD > BD.

Теперь сложим все полученные неравенства:

(AO + OB) + (CO + OD) > AB + CD, (AO + CO) + (BO + OD) > AC + BD.

Обозначим левую часть первого неравенства как S1 и левую часть второго неравенства как S2. Тогда получаем:

S1 > AB + CD, S2 > AC + BD.

Теперь рассмотрим сумму длин диагоналей:

d1 + d2 = (AO + OB) + (CO + OD) = S1, AC + BD = (AO + CO) + (BO + OD) = S2.

Таким образом, мы получаем:

d1 + d2 > AB + CD, AC + BD > AC + BD.

Из этих неравенств следует, что сумма диагоналей (d1 + d2) меньше, чем сумма сторон (AB + CD), а также меньше, чем сумма сторон (AC + BD).

Заключение

Таким образом, мы доказали, что для любого выпуклого четырехугольника сумма диагоналей меньше, чем периметр.