Question

В трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне CD. Окружность, описанная возле треугольника ABC, касается прямой CD, пересекает основание AD в точке М и делит его на отрезки АМ и MD. Найдите площадь трапеции ABCD, если АМ=8, СМ=4.

Answer 1

По свойству касательной и секущей получаем 
 $DC^2=MD(MD+8)$ 
из треугольника $MDC$ , по теореме косинусов получаем  
$MD^2+16-8MD*cosa=MD(MD+8)$  где $a$ угол  $DMC$ 
откуда $MD(1+cosa)=2$
$AC^2=80+64cosa$ 
выражая  $MD$ и подставляя , получаем уравнение 
$64+\frac{16}{1+cosa}=80+64cosa \\ 80+64cosa=(80+64cosa)(1+cosa)\\ (80+64cosa)cosa=0\\ a=90а$
Тогда площадь треугольника  $S_{MDC}=\frac{4*MD}{2}\\ MD=2\\ MDC=\frac{4*2}{2}=4\\\\ S_{AMBC}=8*4=32\\ S_{ABCD}=32+4=36$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства треугольников и трапеции.

Так как диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, то треугольник ACD прямоугольный. Пусть точка M делит основание AD на отрезки AM и MD.

Также, так как окружность, описанная возле треугольника ABC, касается прямой CD, то треугольник ABC является прямоугольным.

Из этого следует, что треугольники ABC и ACD подобны, и мы можем использовать их отношения, чтобы найти длину сторон трапеции.

Так как AM = 8 и CM = 4, то MD = 8 - 4 = 4.

Теперь мы можем найти длину боковой стороны трапеции. Так как треугольник ACD прямоугольный, то по теореме Пифагора:

AC^2 = AD^2 + CD^2 AC^2 = (AM + MD)^2 + CD^2 AC^2 = (8 + 4)^2 + CD^2 AC^2 = 144 + CD^2

Также, так как треугольники ABC и ACD подобны, то отношение их сторон равно отношению диагоналей:

AB/AC = BC/CD AB/AC = AC/CD AB = (AC^2)/CD AB = 144/CD

Теперь мы можем найти площадь трапеции:

S = (AB + CD)*h/2 S = (144/CD + CD)*8/2 S = 72/CD + 4

Теперь нам нужно найти длину CD. Для этого мы можем использовать тот факт, что окружность, описанная возле треугольника ABC, касается прямой CD. Это означает, что CD равна радиусу этой окружности.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то его гипотенуза равна диаметру описанной окружности. Таким образом, CD равно половине гипотенузы треугольника ABC.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то по теореме Пифагора:

AB^2 + BC^2 = AC^2 (8^2 + 12^2) = AC^2 64 + 144 = AC^2 AC^2 = 208 AC = sqrt(208) AC = 4*sqrt(13)

Таким образом, CD = (4*sqrt(13))/2 = 2*sqrt(13)

Теперь мы можем найти площадь трапеции:

S = 72/(2*sqrt(13)) + 4 S = 36/sqrt(13) + 4 S = (36*sqrt(13))/(13) + 4 S = (36*sqrt(13) + 52)/13

Итак, площадь трапеции ABCD равна (36*sqrt(13) + 52)/13.