Question

В равнобедренном треугольнике АС с основанием АВ угол А равен 60 0 . Докажите, что биссектриса ВР угла СВ D , смежного с углом В треугольника, параллельна АС

Answer 1

Угол при основании равнобедренного треугольника равен 60°. Значит треугольник равносторонний и все углы у него по 60°. Угол CBD, смежный с углом В, равен 120°. Биссектриса BP делит этот угол пополам. Значит <PBD=60° и <PBD=<ACB, а эти углы - накрест лежащие при прямых АС и ВР и секущей ВС. Значит прямые АС и ВР параллельны, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства, что биссектриса угла ВСВ, смежного с углом В в треугольнике АСВ, параллельна стороне АС, мы можем использовать свойства равнобедренного треугольника и свойства углов.

Свойства равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны. В данном случае, треугольник АСВ является равнобедренным, так как сторона АВ равна стороне АС. Это означает, что углы при основании АВ равны.

Свойства углов

По свойству углов, биссектриса угла делит его на два равных угла. То есть, в данном случае, биссектриса угла ВСВ делит угол ВСВ на два равных угла - угол ВСD и угол ДСВ.

Доказательство

Предположим, что биссектриса угла ВСВ не параллельна стороне АС. Тогда, существует точка Е на биссектрисе, такая что ЕА не параллельна стороне АС.

* В треугольнике ЕАС рассмотрим угол ВЕА. Так как биссектриса делит угол ВСВ на два равных угла, угол ВСЕ также равен углу ВЕА.

* Так как у треугольника АСВ углы при основании равны, угол ВСА также равен углу ВАС.

* Так как угол ВАС и угол ВСЕ равны, то угол ВСЕ также равен углу ВАС.

* Но угол ВАС является внешним углом треугольника ЕАС, а угол ВСЕ - внутренним углом. По свойству внешних углов треугольника, внешний угол всегда больше любого из внутренних углов.

Мы получили противоречие, так как угол ВСЕ не может быть больше угла ВАС, но по предположению ЕА не параллельна стороне АС. Следовательно, наше предположение неверно, и биссектриса угла ВСВ, смежного с углом В в треугольнике АСВ, должна быть параллельна стороне АС.

Таким образом, мы доказали, что биссектриса ВР угла СВD, смежного с углом В в треугольнике АСВ, параллельна стороне АС.