Question

Дана окружность с центром в точке О и радиусом R и четырехугольник АВСD, площадь которого S=(a+b)*R. Доказать, что BC=a, AD=b.

Answer 1

Найти решение не сложно. Сложно доказать, что когда 4-х угольник вписанный, то указанная зависимость площади от сторон и радиуса неверна. Как получилось.

Answer 2

Для начала докажем, что BC = a.

Поскольку ABCD - четырехугольник, то у него есть две противоположные стороны: AB и CD, а также BC и AD.

Поскольку окружность с центром в точке O и радиусом R описана вокруг четырехугольника ABCD, то сторона AB является диаметром окружности. Следовательно, AB = 2R.

Также известно, что площадь четырехугольника ABCD равна S = (a + b)*R.

По формуле площади четырехугольника S = (1/2)*AB*CD*sin(угол ABC) + (1/2)*BC*AD*sin(угол BCD).

Так как AB = 2R, CD = 2R (по свойству диаметра), угол ABC = угол BCD = 90 градусов (так как AB и CD - диаметры, то угол между ними прямой), а sin(90 градусов) = 1, то получаем:

S = (1/2)*2R*2R*1 + (1/2)*BC*AD*1.

S = 2R^2 + (1/2)*BC*AD.

Из условия задачи S = (a + b)*R, поэтому:

(a + b)*R = 2R^2 + (1/2)*BC*AD.

a + b = 2R + (1/2)*BC*AD/R.

Так как a и b - длины сторон четырехугольника, а R - радиус окружности, то a и b являются постоянными значениями, а R - переменной. Следовательно, (1/2)*BC*AD/R = 0, и уравнение принимает вид:

a + b = 2R.

Отсюда следует, что BC = a.

Аналогично можно доказать, что AD = b.